Question

论线性代数的收获？

Answer 1

行列式（determinant）是学习线性代数时最先接触到的概念之一。她是用来研究矩阵的一个方便的工具。作为一个符号她时常现出其便利之处。实质上，行列式是定义在方阵集上，到数域（实数域或复数域，在实际应用中可以是各种不同的域）的一个映射（函数）。其最重要的性质是“多线性”，“交错性”和“规范性”。行列式是唯一具备这三种性质的、定义在方阵集上的函数（注①）。

我们最先学习到的，也是最熟悉的，关于行列式的应用，是所谓的“Cramer法则”。该定理通过行列式，以非常紧凑而整齐的形式揭示了满秩线性方程组的解与系数的关系。作为一个数量指标，行列式与矩阵（不单是方阵）的很多重要性质有密切的联系。我们知道，矩阵与线性影射是一对一的，而线性映射在微分学，尤其在向量分析中，有着基本的重要性。可见行列式在线性数学中的意义。
当单独研究行列式的时候，一个相当重要的问题是行列式的计算。理论上我们可以通过定义来计算行列式，但根据定义，一个n阶的行列式有n!项，每一项有n个因子，所以当阶数较高时计算量是相当大的。一般情况下我们会利用行列式的性质，结合针对个别行列式的特性进行计算。而其中最重要的性质有两类：一，与初等行（列）变换相关的性质；二，Laplace展开（注②）。
对于一般的数值行列式，一个普遍的计算方法是通过初等变换化为上三角矩阵。利用这个方法一般要作O(n*n)次的加法运算。相比起按定义来计算，这是一个不小的改进。若行列式中的某一行（列）存在大量的0元素时，我们也考虑用Laplace展式来计算。另外，按个人经验，3阶行列式用展式计算的效率较“上三角法”为高（在解析几何中我们时常要计算3阶的行列式）。
之前几段好像在打官腔的感觉……以下的行文就随便一点了。当行列式的元素是抽象符号，函数表达式，或者阶数比较大但其元素有一定规律时，又或者作理论证明的时候，就要使用一些技巧。然而在大部分的场合下所需要的技巧也是比较有限的。简单来说，这些技巧就是将初等变换和拉氏展式结合起来，以实现行列式的“降阶”。最典型的例子就是对Vandermonde行列式的计算。对于元素数值分布很有规律的矩阵，或者对称矩阵，这种方法常常时凑效的。与降阶相对的是“升阶”，也是值得注意的一种方法。升阶就是作一个“加边”的恒等变换，相信大家都还记得怎样加多一行一列可以不改变行列式的值。如果于那些元素分布很有规律但每个元素都很“碍眼”的行列式（例如“对从第二列开始的每一列加上它前面的一列，同时对第一列加上原先最后面的一列”这样的行列式），可以考虑加一条边，然后作初等变换将“碍眼”的部分去掉，再进行计算。还有一种常用的技巧就是将矩阵分解成两个比较简单的矩阵的乘积，然后根据Binet-Cauchy定理进行计算（注③）。
如果行列式更加复杂时，可能要用到一些比较特殊的技巧。首先是“递归公式”。在计算Vandermonde行列式时，其实我们就已通过按一行展开的方法而用到了最简单的递归公式，即一阶递归式。在这种情况下我们可以直接导出行列式的值。然而当展开后是二阶甚至更高阶的递归式时，我们需要作一些变形才能继续计算。此类变形一般可以归结为“形式幂级数”及其“母函数”的应用。另外，当要处理“循环方阵”或者某些含有三角函数（特别是涉及“k倍角公式”时）的行列式时，我们要用到一些复数和欧拉公式的性质来帮助计算推导。
我们用的教材，北大版的《高等代数》，其课文对行列式的阐述是比较精简的，只给出了最基本的（当然也是最重要的）结论和方法。但其配的习题涉及面却相当广，足以承担训练计算技巧的任务。而科大版的《线性代数》对各种常用技巧有相当详尽的总结。另外清华版的《高等代数学》用例题的形式展示了上面提到过的几种特殊技巧。这两本书算得上很不错的参考读物。
注①：这应该是一种比较现代的观点，利用这个“唯一性”，可以简化某些定理的传统证明，例如Laplace展开式。
注②：最常用的就是按一行（列）展开。
注③：这个定理的一个常见的特殊形式就是：det(AB) = det(A)·det(B)，其中A、B都是n×n矩阵。 高等代数：
高代那本姚慕生的参考书还是很赞的，主要包括线性方程组解与系数矩阵关系；线性映射维数公式；不变子空间在后面正规算子理论中用处很大；特征值与特征向量和后面jordan标准型是另一个重点，不变因子与极小多项式，特征多项式的关系有时用于解题很方便；二次型中引入合同概念，正交相似标准型的应用；矩阵乘法可交换可推出的同时对角化，上三角化（还是用不变子空间的方法）。另外还有两个计算时的降阶公式（算行列式和特征值的，本质是分块矩阵初等变换）。