Question

高等代数理论基础48：特征值与特征向量

Answer 1

定义：设 是数域P上线性空间V的一个线性变换,若对于 ,存在一个非零向量 ,使

则称 为 的一个特征值, 称为 的属于特征值 的一个特征向量

注：

1.特征向量的方向经过线性变换后保持在同一直线上

2.特征向量不是被特征值唯一确定的,若 是线性变换 的属于特征值 的特征向量,则 的任一非零倍数 也是 的属于 的特征向量

3.特征值被特征向量唯一确定,一个特征向量只能属于一个特征值

求法：

设V是数域P上n维线性空间, 是一组基,线性变换 在这组基下的矩阵是A,设 是特征值,它的一个特征向量 在 下的坐标为 ,则 的坐标为 , 的坐标为

故 相当于坐标之间的等式

或

即特征向量 的坐标 满足齐次方程组

即

,故它的坐标 不全为零,即齐次方程组有非零解

故

定义：设A是数域P上一n级矩阵, 是一个文字,矩阵 的行列式

称为A的特征多项式,是数域P上的一个n次多项式

注：若 是线性变换 的特征值,则 是矩阵A的特征多项式的一个根,反之,若 是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根,即 ,则对应齐次方程组有非零解,若 是方程组的一个非零解,则非零向量 满足

即 是线性变换 的一个特征值, 是数域特征值 的一个特征向量

确定线性变换 的特征值与特征向量：

1.在线性空间V中取一组基 ,写出 在这组基下的矩阵A

2.求出A的特征多项式 在数域P中全部的根,即 的全部特征值

3.将所求得的特征值逐个代入方程组,对每个特征值,解方程组,求出一组基础解系,即属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基 下的坐标,求出属于每个特征值的全部线性无关的特征向量

例：

1.n维线性空间中,数乘变换 在任一组基下的矩阵都是 ,它的特征多项式为

故数乘变换 的特征值只有k

由定义,每个非零向量都是属于数乘变换 的特征向量

2.设线性变换 在基 下的矩阵是

求 的特征值与特征向量

特征多项式为

故特征值为 (二重)和5

把特征值-1代入齐次方程组

可得

基础解系为

故属于-1的两个线性无关的特征向量为

属于-1的全部特征向量为 , 取遍数域P中不全为零的全部数对

再将特征值5代入得

基础解系为

故属于5的一个线性无关的特征向量为

属于5的全部特征向量为 ,k是P中任意不为零的数

3.在空间 中,线性变换 在基 下的矩阵为

的特征多项式为

故D的特征值为0

通过解相应齐次线性方程组可知,属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数

即微商为零的多项式只能是零或非零常数

4.平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间

选择 在直角坐标系下的矩阵为

特征多项式为

当 时,多项式无实根,故 时, 没有特征值

对线性变换 的任一特征值 ,适合条件 的向量 所成的集合,即 的属于 的全部特征向量再添上零向量所成的集合,是V的一个子空间,称为 的一个特征子空间,记作

注： 的维数是属于 的线性无关的特征向量的最大个数,

展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积

其余各项至多包含 个主对角线上的元素,对 的次数最多是

故特征多项式中含 的n次与n-1次项只能在主对角线上元素的连乘积中出现

为

令 ,可得常数项

故若只写出特征多项式的前两项与常数项,有

若 在数域P上能分解为一次因式的乘积,由根与系数的关系,A的全体特征值的和为 ,称为 的迹,记作 ,A的全体特征值的积为

注：特征值被线性变换确定,在有限维空间中,任取一组基,特征值为线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根,基不同则线性变换的矩阵一般也不同,但是相似

定理：相似的矩阵有相同的特征多项式

证明：

注：

1.定理说明线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关,直接被线性变换决定,故可称为线性变换的特征多项式

2.定理的逆不成立,特征多项式相同的矩阵不一定相似

如

它们的特征多项式都是 ,但A和B不相似,和A相似的矩阵只能是A

定理：设A是数域P上一个 矩阵, 是A的特征多项式,则

证明：

推论：设 是有限维空间V的线性变换, 是 的特征多项式,则