Question

数学——导数

已知函数f(x)=ax+b/x+c(a>0)的图像在点（1，f(1))的切线方程为y=x-1
(1)用a表示出b,c
(2)若f(x)>=lnx在[1,正无穷)上恒成立，求a的取值范围
重点是第二小问……晕死了谢谢
给我讲清楚的我一定加分啊！
若f(x)>lnx在[1,正无穷)上恒成立，求a的取值范围

Answer 1

(1) f(1)=0 => a+b+c=0
k=1 => a-b=1;
所以 c=1-2a b=a-1
（2) 另g(x)=ax+b/x+c-lnx
g(x)'=a-b/(x^2)-1/x
若要 f(x)>lnx在[1,正无穷)上恒成立 且 g(1)=0
则g(x) 在[1,正无穷)必需递增，即 g‘(x)>0
g(x)'=(1/(x^2))(ax^2-x-(a-1))
1/(x^2) 不影响正负，所以只要看(ax^2-x-(a-1)）
另k(x)= ax^2-x-(a-1)
k(1)=0;
所以 看k（x）在[1,正无穷)必需递增 ，即k'(x)>0
k'(x)=2ax-1 在[1,正无穷)要恒大于0；
则a>1/2

Answer 2

1)f'(x)=a-b/x²
f'(1)=a-b=1
b=a-1
直线过点（1，0）
0=a+b+c=a+a-1+c
c=1-2a
(2)设g(x)=ax+b/x+c-lnx
g'(x)=a-b/x²-1/x
=a-(a-1)/x²-lnx
令g'(x)=0
a-(a-1)/x²-1/x=0
(-ax-a-1)*(-x+1)=0
x=-(a+1)/a或x=1
因为x属于[1,正无穷）
所以x=1
因为，当x大于1时，g'(x)恒大于0
所以当x=1时，g(x)有最小值，为0
所以g(x)大于等于0恒成立
所以f(x)大于等于lnx恒成立