设函数f(x)=ln(x+a)-x².若直线y=x为函数f(x)的图像的一条切线,求a的值.
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因为切线为y=x
所以设切点为(n,n)
n=f(n)=ln(n+a)-n^2 (1)
f'(n)=1 -> 1/(n+a)-2n=1 -> n+a=1/(2n+1)
带入(1),n=-ln(2n+1)-n^2 -> n^2+n+ln(2n+1)=0
令h(x)=x^2+x+ln(2x+1)
h'(x)=2x+1+2/(2x+1)>0
所以h(x)单调递增
且h(0)=0 -> 所以n=0
所以a=1/(2n+1)-n=1
所以设切点为(n,n)
n=f(n)=ln(n+a)-n^2 (1)
f'(n)=1 -> 1/(n+a)-2n=1 -> n+a=1/(2n+1)
带入(1),n=-ln(2n+1)-n^2 -> n^2+n+ln(2n+1)=0
令h(x)=x^2+x+ln(2x+1)
h'(x)=2x+1+2/(2x+1)>0
所以h(x)单调递增
且h(0)=0 -> 所以n=0
所以a=1/(2n+1)-n=1
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