线性方程组（四）- 矩阵方程
若 是 矩阵，它的各列为 。若 是 中的向量，则 与 的积 （记为 ）就是 的各列以 中对应元素为权的线性组合，即
注意 仅当 的列数等于 中的元素个数时才有定义。
对 中的 ，把线性组合 表示为矩阵乘向量的形式。
解：把 排列成矩阵 ，把数3，-5，7排列成向量 ，即
方程有形式 ，我们称这样的方程为 矩阵方程 。由定义 可知，任何向量方程都可以写成等价的形式为 的矩阵方程。而向量方程 又和增广矩阵为 的线性方程有相同的解集。
若 是 矩阵，它的各列为 ，而 属于 ，则矩阵方程与向量方程 由相同的解集。它又与增广矩阵为 的线性方程组有相同的解集。
我们现在可将线性方程组用三种不同但彼此等价的观点来研究：作为矩阵方程、作为向量方程或作为线性方程组。任何情况下，矩阵方程、向量方程以及线性方程组都用相同方法来解---用行化简算法来化简增广矩阵。
方程 有解当且仅当 是 的各列的线性组合。
设 ， 。方程 是否对一切可能的 有解？
解：把 的增广矩阵进行行化简：
~ ~
第4列的第3个元素为 。故方程 并不是对一切的 都相容，因为 可能不为零。
上述方程 并非对所有的 都相容，这是因为 的阶梯形含有零行。假如 在所有三行都有主元，这时增广矩阵的阶梯形不可能产生如 的行。
当我们说“ 的列生成 ”时，意思是说 中的每个向量 都是 的列的线性组合。一般地， 中向量集{ }生成 的意思是说， 中的每个向量都是 的线性组合，即 。
设 是 矩阵，下列命题是逻辑上等价的，也就说，对某个\boldsymbol{A}，它们都成立或者都不成立。
计算 ，其中 ，
解：由定义，
矩阵 的第一个元素是 的第一行与 相应元素乘积之和（有时称为点积）。
计算 的行-向量规则
若乘积 有定义，则 中的第 个元素是 的第 行元素与 的相应元素乘积之和。
若矩阵的主对角线上元素为1，其它位置上元素为0，这个矩阵称为 单位矩阵 ，记为 。有 单位矩阵，记为 。对任意 中的 ， = 。
若 是 矩阵， 和 是 中向量， 是标量，则
