Question

面面垂直的定义

Answer 1

两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。面面垂直的定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直；如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。

面面垂直的定理证明

1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α。

求证：OP⊥β。

证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。

∵α⊥β

∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ

∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β

∴OP⊥β

2、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ

证明：设α∩γ=a，β∩γ=b

∵a∩b=l

∴a与b相交

设a∩b=P，则P∈l

若l与γ不垂直，那么在α内过P作PA⊥a，由定理1可知PA⊥γ

同理，在β内作PB⊥b，就有PB⊥γ

于是过P有两条直线与γ垂直，与线面垂直的性质定理矛盾。

∴假设不成立，l⊥γ