Question

复数的概念与代数运算

Answer 1

复数概念的引入最初是为了求解 这样的没有实根的方程,因此复数集可以看作实数集的一个自然的扩充.为此,首先引进一个“新数”i,使它满足 ,即 适合方程 .这个新数 称为虚数单位.将 添加到实数集中去,定义:形如 ( 、 均是实数)的表达式称为一个复数.其中的 和 分别叫做复数 的实部和虚部,分别记作

一、复数 的分类当

虚部 时,复数 是实数;

当虚部 时,复数 是虚数;

当虚部 ,且实部 时,复数 是纯虚数.

如果记
——实数集
——复数集
——虚数集
——纯虚数集

就有关系

二、复数相等的充要条件

对于两个复数 , ,二者相等的充要条件是 且 ,即

复数相等的充要条件是复数问题化归为实数问题的理论依据,“化虚为实”是解决复数问题的通性通法.

三、复数的运算法则

对于两个复数 、 .

加法: ;

减法: ;

乘法: ;

除法: .

四、复数的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律,也就是说,对于任何复数 、 、 均有

复数的乘法满足交换律、结合律,以及乘法对于加法的分配律.也就是说,对于复数 、 、 ,均有

五、共轭复数的性质

当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,就称其互为共轭复数.特别地,若复数的虚部不为零时,也称作互为共轭虚数.对于复数 ,它的共轭复数用 来表示.

共轭复数有如下基本性质:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) ;

(6) ;

(7) 是实数的充要条件是 ; 是纯虚数的充要条件是 且 .

六、复数的几何形式

复数 与复平面上的点 是一一对应的,点 和向量 也构成一—对应关系,点 和向量 均是复数 的几何形式.向量 的模 称为复数 的模 ,即

这种对应关系的构建,揭示了复数问题与向量问题之间的相互转化,说明了向量方法是解决复数问题的一条有效途径.

关于复数的模,有如下的基本性质:

(1) ;

(2) ;

(3) .