Question

请帮忙看这个高数问题.

设函数f(x)连续,且f'(x)>0,则存在t使得f(x)在(0,t)内是单调增加.请问是否正确?
若正确,请证明这个结论,若不正确,请举出反例.
题目是:设函数f(x)连续,且f'(0)>0,则存在t使得f(x)在(0,t)内是单调增加.请问是否正确?
若正确,请证明这个结论,若不正确,请举出反例.

Answer 1

绝对不正确，楼上说正确的都默认了导数在0点一个小邻域内连续。

反例：x不为0时，f(x)=x+4(x^2)sin(1/x)；f(0)补充定义为0.

f'(0)=lim[f(x)/x]=1>0（x->0）. 而x>0时，f'(x)=1+8x*sin(1/x)-4cos(1/x). f可导，当然连续。

考虑区间I(k)=(1/(π/3+2kπ),1/2kπ).在区间I(k)上，cos(1/x)>0.5.

对任意t>0, 可以取k充分大，使得I(k)∈(0,t), 且x∈I(k)时总有8x*sin(1/x)<1. 这样在I(k)上f'(x)<1+1-4*0.5<0. 即：f在I(k)上严格减，与题意不符。

P.S 如果f'(x)在0点的一个邻域内连续，结论就是对的了，用中值定理很容易证。这里举的例子f(x)可导，但导函数在0处并不连续。

另外，高数一般不会搞这么细吧？数学分析喜欢抠这些事~O(∩_∩)O~

Answer 2

正确的命题 用中值定理证明吧

Answer 3

一楼的在干什么？

Answer 4

我认为这个不正确，关键是 连续和可导都是在领域内定义的，题设说，连续可导，却没有说定义域，这是不严谨的，如果加上定义域，且定义域包括(0,t),就正确了~

Answer 5

这题好像在哪看过，等一下，先占座。 等会给你解答....可能时间有点长，不好意思了

Answer 6

正确。
中值定理知，对于任意b满足0<b<c<t，则存在a，a满足b<a<c
有(f(c)-f(b))/(c-b)=f'(a)*t>0,
所以得到f(c)>f(b),使得f(x)在(0,t)内是单调增加.这里要说明一下，要是f'(x)在这0附近不连续，那么，这个t就会有无限接近于0的可能，但是他还是比0大。就有(0,t)这个区间变成一个无限接近于0的点。对于这种情况，研究一个点的单调性是无意义的，不过可以看作为不严格单调递增。