Question

高中数学导数题需要分类讨论时一般遵循怎样的顺序？

Answer 1

高中数学导数题需要分类讨论时一般遵循怎样的顺序？
首先导数分类讨论主要分为两种：
第一种：讨论二次函数 。
1.二项式系数 .

【例1】：设函数 , 其中
(1)讨论函数 的极值点的个数, 并说明理由;
(2)若 恒成立, 求 的取值范围.

（1）不采用通分再讨论：后果有点。。。。。。。。

讨论：
（1）：当 时， 。
，故只须在 区间内再找一个点使得 成立，才能证明 有极值点。
放缩找点法： 时， ，故有 ；
令 ，解得 。
故 .
由零点定理得： 故 在 区间存在唯一个变号零点。
故当 时，函数 存在极大值点。
（2）：当 时， ，函数 无极值点。
（3）：当 时， 在定义域 内有解。设解为 。
.

下面只须讨论 的正负。
甲：当 时，即 时，恒有 此时，函数 无极值点。
乙：当 时，即 时； .
；故得出 在定义域 内。
下面又开始找点操作：
找左端点 ：
条件：即 时；找点区间： 。

验证 ：
.
假设

。
验证: .

由零点定理得：
区间存在变号零点。
故在 区间 存在极大值点。

找右端点 ：
条件：即 时；找点区间： 。

由零点定理得：
区间存在变号零点。
故在 区间 存在 极小值点。
综上可知： f'(x) 在x>-1 区间存在两个变号零点。故函数 f(x) 有两个极值点。

综上有：
①当 时，函数 存在一个极大值点。
②当 时，函数 无极值点。
③当 时，函数 有两个极值点。
总结：
上面展示的过程，逻辑严密，思维难度大：
难在两上方面：

下面采用二次函数讨论：
，
令
讨论：
（1）：当 时， ，函数 无极值点。
（2）：当 时， , 只有一个变号零点 函数 存在一个极大值点。
（3）当 时， , 恒成立， ，函数 无极值点。
（4）当 时， ， , 故 有两个变号零点，即 只有两个变号零点 函数 存在两个极值点。
综上有：
①当 时，函数 存在一个极大值点。
②当 时，函数 无极值点。
③当 时，函数 有两个极值点。
通分后讨论二次函数明显简单很多。

第二问：采用必要条件探路+更换主元消参法
当 时， , 则必有 ,解得 。
当 时， ，令 ,解得 ，故必有 .
极限写法会被扣2分，哪么怎么不被扣会呢？采用 时,定义域内总存在一个点 ，使得 ,即可证明 的范围只能在 区间。
操作：
条件： .
我们知道： .
故
令
解得: ,在定义域内。

所以当 ，定义域： 时；总存在一个点 ，使得 成立。故要使 ，故必有 。
综上必有 ，才 。
下面只须在 的 讨论可能成立的 。
更换主元以 为自变量， 为参数得：
讨论：
(1)当 时， 单调减。

。
(2)当 时，函数 可取 任意值。
(3)当 单调增。
。
。