Question

求分式(6x^2+18x-2)/(x^2+3x+6)的最小值

Answer 1

解：分式（6x^2+18x-2）／（x^2+3x+6）
＝[（6x^2+18x＋36）-36-2]／（x^2+3x+6）
＝[6（x^2+3x+6）-38]／（x^2+3x+6）
＝6-38／（x^2+3x+6）
＝6-38／[（x^2+3x＋9／4）＋15／4]
＝6-38／[（x＋3／2）^2+15／4]
∴当x＝-3／2时，x^2+3x＋6的最小值是15／4
∴38／（x^2+3x＋6）的最大值是38×4／15＝154／15
∴方式（6x^2+18x-2）／（x^2+3x+6）的最小值是6-154／15＝-64／15

Answer 2

令k=(6x^2+18x-2)/(x^2+3x+6)
kx^2+3kx+6k=6x^2+18x-2
(k-6)x^2+(3k-18)x+6k+2=0
△=(3k-18)^2-4(k-6)(6k+2)

=(k-6)(9k-54-24k-8)
=(k-6)(-15k-62)
>=0
所以(k-6)(15k+62)<=0
-62/15<=k<=6
所以原分式的最小值为-62/15

Answer 3

(6x^2+18x-2)/(x^2+3x+6)
整理方程
=[6(x^2+3x+6) -38 ]/(x^2+3x+6)
=6 - 38/(x^2+3x+6)
配方
=6 - 38/[ (x^2+3/2)^2 + 6 - 9/4]
=6 - 38/[ (x^2+3/2)^2 + 15/4]
最小 (6x^2+18x-2)/(x^2+3x+6) 当 x = -3/2
=6 - 38/(15/4)
=6 - 152/15
=-62/15