Question

点到线段的距离计算公式是什么？

Answer 1

已知点的坐标为(x0,y0)，线的表达方式为Ax+By+C=0，则点到线的距离公式为 ((A*x0 + B*y0 + C) / √(A^2+B^2) )的绝对值。

证明方法：

定义法证：根据定义，点P(x₀，y₀）到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y₀＝(B/A)(x-x₀）把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为（(B^2x₀－ABy₀－AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀－ABx₀－BC)/(A^2+B^2))由两点间距离公式得：

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。