Question

arctanx和tanx的转化公式是什么？

Answer 1

反三角函数的和差公式与对应的三角函数的和差公式没有关系。

y=arctan(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(-π/2，π/2)与y=tanx,x∈(-π/2,π/2)关于直线y=x对称，且渐近线为y=π/2和y=-π/2。

f(x)=tanx是求一个角度(也可以是弧度)x的正切值。

f(x)=arctanx则是求正切值为x的对应的是多少角度(或弧度)。

tanx与arctanx互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称(由于arctanx的值域，定义域只有过原点的那个周期的tanx图像对称)。

三角函数求导公式证明过程：

以(cosx)' = - sinx为例，推导过程如下：

设f(x)=sinx。

(f(x+dx)-f(x))/dx=(sin(x+dx)-sinx)/dx=(sinxcosdx+sindxcosx-sinx)/dx因为dx趋近于0cosdx趋近于1(f(x+dx)-f(x))/dx=sindxcosx/dx根据重要极限sinx/x在x趋近于0时等于一。

(f(x+dx)-f(x))/dx=cosx，即sinx的导函数为cosx。

同理可得，设f(x)=cos(f(x+dx)-f(x))/dx=(cos(x+dx)-cosx)/dx=(cosxcosdx-sinxsindx-sinx)/dx。

因为dx趋近于0cosdx趋近于1(f(x+dx)-f(x))/dx=-sindxsinx/dx，根据重要极限sinx/x在x趋近于0时等于一(f(x+dx)-f(x))/dx=-sinx即cosx的导函数为-sinx。