Question

二次函数怎么求解析式

Answer 1

二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。本文试以2006年中考题为例，说明求二次函数解析式的常用方法，以期对同学们学习有所帮助。
二次函数常见的表达形式有：
（1）一般式： ；
（2）顶点式： ，其中点（m,h）为该二次函数的顶点；
（3）交点式： ，其中点 为该二次函数与x轴的交点。
例1. （南通市）已知抛物线 经过A，B，C三点，当 时，其图象如图1所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。
图1
分析：由图象可知，抛物线经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，因此，可以借助二次函数一般式求出其解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标。
解：设所求抛物线的解析式为 （ ）。由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。
解之，得
抛物线的解析式为
该抛物线的顶点坐标为 。
点评：这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息。已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式。要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围 。
例2. （泰州市）如图2，有一横截面是抛物线的水渠，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，标杆有1m浸没在水中，露出水面的部分与水面成 的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）。以水面所在直线为x轴，过点A垂直于水面的直线为y轴，建立如图2所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）。
图2
分析：要求解析式，必须知道抛物线上交点的坐标。显然，由已知条件可以求出点A与点B的坐标。由于点A是所在抛物线的顶点，因此可以用抛物线的顶点式 。
解：设AB与x轴交于点C，可知 。
过点B作 轴于点D
设所求水渠横截面抛物线的解析式为 。
将点B的坐标代入，有 。解之，得 。
因此，该水渠横截面抛物线的解析式为 。
点评：解答此类问题的关键在于将实际问题的条件转化成点的坐标，再根据点的特征选择适当的函数表达式。
例3. （江西省）一条抛物线 经过点 与 。求这条抛物线的解析式。
分析：解析式中的a值已经知道，只需求出 的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点 的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线 ，这样又可以从抛物线的顶点式入手。
解： 抛物线 经过点（ ）和 ，
这条抛物线的对称轴是直线 。
设所求抛物线的解析式为 。
将点 代入，得 ，解得 。
这条抛物线的解析式为 ，即 。
点评：当点M（ ）和N（ ）都是抛物线上的点时，若 ，则对称轴方程为 ，这一点很重要也很有用。
例4. （常德市）如图3，在直角坐标系中，以点A 为圆心，以 为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E。若抛物线 经过B，C两点，求抛物线的解析式，并判断点D是否在抛物线上。
图3
分析：解题的关键在于求出点B和点C的坐标，因此需要求出线段OB，OC的长，这可根据圆的性质解决。由于点B与点C都在x轴上，因而可以根据二次函数的交点式 求出其解析式。
解：由 ，易得
在 ，
。所以点D的坐标为（0，-3）。
设解析式为 ，由条件知 ，
抛物线的解析式为
即
当 时， ，所以点D（0，-3）在抛物线上。
点评：解这类题将点的坐标与线段的长互相转化至关重要，但要注意坐标的符号。
最后，留两道题给同学们练习。
1. （2006年长春市）二次函数 的图象经过点M（1，-2），N（-1，6）。求二次函数 的关系式。 （答案： ）
2. （2006年攀枝花市）已知抛物线 与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式为 ，线段CM的长为 。求这条抛物线的解析式。（答案： ）