Question

一个函数的导数连续意味着什么?从微分及积分两个角度来分析

Answer 1

越高阶导数连续,函数越“光滑”举个例子~y=x的绝对值,这个函数连续,但是导数不连续
在举个例子 y=x平方,当x大于0时,y=x方,当x小于等于0时,这个函数连续,一阶导数也连续,二阶导数就不连续了,光滑性~就差了~
那么不光滑了对函数有什么影响呢,你看看泰勒公式,如果这个函数不太“光滑”也就是高阶导数不存在,那么他的泰勒展开就很短,近视计算函数的值误差就大~这就是实际意义~对于微分和积分也一样,泰勒公式有微分形式和积分形式,同样可得,微分和积分的误差就跟着大了,这个误差是在用计算机计算的时候产生了.不是你手动计算积分那种,因为大部分的计算人是算不了的.都得用电脑,所以越光滑,可导的阶数越高,计算精度越好~