Question

高二数学题，高分

设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)=x²+2x+b(x属于R)（b为常数）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为c，求：
1.求实数b的取值范围
2.求圆c的方程
3.问圆c是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。

要详细解释，谢谢

Answer 1

1.
令x=0，得抛物线与y轴的交点是(0,b)
令f(x)=x²+2x+b=0,由题意得，b≠0，△＞0
∴b＜1且b≠0 （b=0的话，有两点重合了，只有两个交点了）

2.
设所求圆的一般方程为
x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆与x轴交点和抛物线与x轴交点相同
∴令y=0，得x²+Dx+F=0，
此方程与x²+2x+b=0有同解，即方程等价。
∴D=2，F=b
同理
令x=0，得y²+Dy+F=0
此方程应只有一个根b
代入得E=-b-1
∴圆C:x²+y²+2x-(b+1)y+b=0

3.
圆C必过定点(0,1)和(-2,1)
证明代进去就可以了。

Answer 2

1

要想有三个交点，判别式=4-4b>0

b<1

2 圆的方程是 (x+1)^2+(y-(b+1)/2)^2=(b^2-2b+5)/4

不知道对不对 如果是对的你再找我

3 这个不太会啊。。。

Answer 3

1)
与x有两个交点是
x²+2x+b=0有两不同根
2^2-4b>0
b<1
与Y轴的交点(0,b),b为0是与x轴交点重合
b<0或0<b<1

2)
x=-2/2=-1 为x轴两点垂直平分线,设c为(-1,z)
圆方程(x+1))^2+(y-z)^2=0 经过(0,b)
(0+1)^2+(b-z)^2=(-1+根号(1-b)+1)^2+(0-z)^2
z=(b+1)/2
方程(x+1)^2+(y-(b+1)/2)^2=(b^2+2b-3)/4
3)
化简方程,合并所有含b项,方程与b无关,所有含b项的系数为0
(x+1)^2+y^2-y-1+(1-y)b=0
就是1-y=0时与b无关 即y=1
代入无b方程
(x+1)^2+y^2-y-1=0
x=0 或-2
就是圆C一定经过(0,1)和(-2,1)