Question

已知定义域为R的函数f(x)=(1-2^x)/[2^(x+1)+a]是奇函数. (1)求a的值 (2)若对任意实数t

(2)若对任意实数t∈R，不等式f(t^2-2t)+f(2t²-k)＜0恒成立，求k的取值范围.

步骤谢谢！
-.-

Answer 1

(1)利用奇函数定义f(-x)=-f(x)代入计算得a=2
或任取一个x的值代入，在已知奇函数条件下是可以进行的，例如f(-1)=-f(1)可求得a=2
(2)f(x)=(1-2^x)/[2^(x+1)+2]=(1-2^x)/2(2^x+1)用分离常数法得f(x)=-1/2+1/(2^x+1)可知是减函数
因为：对任意实数t∈R，不等式f(t^2-2t)+f(2t²-k)＜0恒成立
所以f(t^2-2t)<-f(2t²-k)恒成立，因为是奇函数，所以f(t^2-2t)<f(k-2t²)，由（1）减函数知，
t^2-2t>k-2t²恒成立，3t^2-2t-k>0恒成立，所以判别式<0，4+12k<0，所以k<-1/3

Answer 2

1.f(-x)=[1-2^(-x)]/[2^(-x+1)+a]（分子分母同时乘以2的x次方）
=(2^x-1)/(2+a2^x)
-f(x)=(2^x-1)/[a+2^(x+1)]
因为f(-x)=-f(x),
所以a=2.
2.由1.知，f(x)=(1-2^x)/[2^(x+1)+2]分母恒大于零。只要对分子讨论即可。

Answer 3

奇函数 所以 f(-x)=-f(x)
f(-1)=-f(1)
f(-1)=(1-1/2)/(1+a)=1/2(1+a)
f(1)=(1-2)/(4+a)=-1/(4+a)
f(-1)+f(1)=1/(2+2a)-1/(4+a)=0
2+2a=4+a a=2
f(x)=(1-2^x)/[2^(x+1)+2]=1/2[(1-2^x)/(1+2^x)]
求导 f'=[(1-2^x)'(1+2^x)-(1-2^x)(1+2^x)']/2(1+2^x)^2
f'=[-2^xln2(1+2^x)-(1-2^x)2^xln2]/2(1+2^x)^2
=(-2^xln2)(1+2^x+1-2^x)/2(1+2^x)^2=-2^xln2/(1+2^x)^2<0
所以函数是单调减函数
f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0
f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2)
f(t^2-2t)<f(k-2t^2)
因为函数是单调减函数 所以 t^2-2t>k-2t^2
3t^2-2t-k>0
4-4*3(-k)=4+12k>0 k>-1/3