如图、已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证:AC+CD=AB

如图、已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证:AC+CD=AB... 如图、已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证:AC+CD=AB 展开
By_岚
2010-11-10 · 超过11用户采纳过TA的回答
知道答主
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证明:作DE垂直AB于E
∵AD是交∠BAC的平分线(已知)
∴∠CAD=∠BAD(角平分线定义)
∵∠C=90°(已知)
∴AC⊥CB(垂直定义)
又∵DE⊥AB(已作)
∠CAD=∠BAD(已证)
∴CD=ED(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵DE⊥AB(已作)
∴∠DEB=90°,∠AED=90°(垂直定义)
∵△ABC中,∠C=90°(已知)
∴∠CAB+∠B=90°
∵AC=BC(已知)
∴∠CAB=∠B(等边对等角)
∴∠B=45°
又∵△DEB中,∠DEB+∠EDB+∠B=180°(三角形内角和180°)
且∠DEB=90°(已证)
∴∠EDB=90°
又∵∠B=90°
∴DE=DB(等角对等边)
又∵CD=ED(已证)
∴CD=EB
在△ACD和△ABD中
∠C=∠AED(已证)
∠CAD=∠BAD(已证)
AD=AD(公共边)
∴△ACD≌△ABD(AAS)
∴AC=AD(全等三角形的对应边相等)
又∵CD=EB(已证)
∴AC+CD=AE+EB(等量加等量,和相等)
即AC+CD=AD

PS:遇角平分线造对称全等形的是解决此类为题的基本加辅助线策略哦~

参考资料: ogin_u

伦宛亦bq
2010-11-17
知道答主
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作DE垂直AB于E
∵AD是交∠BAC的平分线(已知)
∴∠CAD=∠BAD(角平分线定义)
∵∠C=90°(已知)
∴AC⊥CB(垂直定义)
又∵DE⊥AB(已作)
∠CAD=∠BAD(已证)
∴CD=ED(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵DE⊥AB(已作)
∴∠DEB=90°,∠AED=90°(垂直定义)
∵△ABC中,∠C=90°(已知)
∴∠CAB+∠B=90°
∵AC=BC(已知)
∴∠CAB=∠B(等边对等角)
∴∠B=45°
又∵△DEB中,∠DEB+∠EDB+∠B=180°(三角形内角和180°)
且∠DEB=90°(已证)
∴∠EDB=90°
又∵∠B=90°
∴DE=DB(等角对等边)
又∵CD=ED(已证)
∴CD=EB
在△ACD和△ABD中
∠C=∠AED(已证)
∠CAD=∠BAD(已证)
AD=AD(公共边)
∴△ACD≌△ABD(AAS)
∴AC=AD(全等三角形的对应边相等)
又∵CD=EB(已证)
∴AC+CD=AE+EB(等量加等量,和相等)
即AC+CD=AD
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黄土厚地
2010-11-10 · TA获得超过261个赞
知道小有建树答主
回答量:357
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由题知角B=90度,过D做DE垂直于AB于E,则CD=DE=EB.AC=AE则AB=AE+EB=AC+CD
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