高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组如下:
高斯消元法,是线性代数中求解线性方程组的一种算法。它通常被理解为在相应的系数矩阵上执行的一系列操作。要对矩阵执行行缩减,可以使用一系列基本行操作修改矩阵,直到矩阵的左下角尽可能地用零填充。
基本行操作有三种类型:
交换两行
将一行乘以一个非零数字
将一行的倍数添加到另一行
运用以上方法作,一个矩阵总是可以被转换成一个上三角矩阵,实际上是一个行阶梯形。一旦所有的主系数(每一行中最左边的非零项)都为1,并且包含主系数的每一列在其他地方都为零,这个矩阵就称为行简化阶梯形。最终的形式是独特的;换句话说,它与所使用的行操作序列无关。
例如,在接下来的行运算序列中(每一步可能进行多个初等运算),第三和第四个矩阵是行简化阶梯形矩阵,最终的矩阵是唯一的行简化阶梯形矩阵。
举例:
假设目标是找到并描述下列线性方程组的解集:
下表是同时应用于方程组及其增广矩阵的行约简过程。在实践中,人们通常不使用方程来处理系统,而是使用增广矩阵,它更适合于计算机操作。行约简过程可以总结为:从L1以下的所有方程中消去x,再从L2以下的所有方程中消去y。这将使方程组变成三角形。然后,用反代换法求解每个未知数。
一旦y也从第三行中删除,结果是三角形形式的线性方程组,因此算法的第一部分完成。从计算的角度来看,以相反的顺序求解变量更快,这一过程被称为反向替换。人们看到的解决办法是z= 1,y= 3,和x= 2。所以原始方程组有唯一的解。
第二列描述了刚刚执行了哪些行操作。所以第一步x从...中消除L2通过添加 3 / 2 L一到L2。接下来,x从...中消除L3通过添加L一到L3。
2024-08-02 广告