Question

如何判断级数的敛散性

Answer 1

判断级数的敛散性可以依据以下模板：

正项级数

①

是正项级数收敛的必要非充分条件

当遇到正项级数时，首先判断其Un在n趋近于无穷时极限是否等于0，若不等于0，则可直接断定级数发散；若等于0，则进一步通过其他方法去判定。

②比值/根值审敛法

这两种审敛法的本质都是Un自身的比较，只不过一个是相邻项相除，一个是取根号。

在这一部分里，涉及到的主要问题是判断用哪种方法的标准

• 当Un是含有n+1类似形式的分式时，可以尝试用比值审敛法

• 当Un是含有指数如xn、xna+m等形式时，可以尝试根值审敛法

注意：当所得结果为1时，这两种审敛法失效，只能选用比较审敛法来判断

③比较审敛法及其极限形式下的应用

这一部分相对前面的两部分来说更为灵活，涉及到的比较标准主体有三个

Un=1/n,始终发散

Un是等比数列，当公比小于1时，收敛；当公比大于1时，发散

依据这三个标准，通常用以下技巧进行解答

Part2 非正项级数

在判断非正项级数的收敛性时，有两大分支，一是交错级数，二是任意项级数

交错级数：正负项交替出现的级数

判断方法：莱布尼兹判别法

• 任意项级数：级数各项可正可负可为0

方法：

• 判断|Un|对应级数是否收敛

• 若收敛，则该级数绝对收敛；若发散，但Un对应级数收敛，则为条件收敛

• 既不是条件收敛又不是绝对收敛，可判断级数发散