Question

矩阵行秩和列秩的关系

Answer 1

一个矩阵中行秩与列秩是相等的。 一般把矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目，类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

m×n矩阵的秩不大于m或n的一个非负整数，表示为 rk(A) ≤ min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此A的行梯阵形式有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。

性质及定理

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra，Rb}。

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。