Question

已知函数f(x)=[a/(1-2a)][a^x -a^(-x)]，(a>0且a≠0),是R上的增函数，求a的取值范围 要详细过程

Answer 1

一般 比较大小有三种解法 一种是导数法 另一个种是做差 还有一种是做比
此题不能用作比法 因为f(x)不能确定正负
用做差
由题可知a≠1/2
解：设x1>x2 x1-x2=x>0
f(x1)-f(x2)=(a/(1-2a))[a^x1-a^(-x1)-a^x2+a^(-x2)]
=(a/(1-2a))[(a^x1-a^x2)+(a^(-x2)-a^(-x1))]
=(a/(1-2a))[a^x2(a^x-1)+a^(-x1)(a^x-1)]
=(a/(1-2a))[(a^x2+a^(-x1))(a^x-1)]
=(a/(1-2a))(a^x2+a^(-x1))(a^x-1)>0

a^x2+a^(-x1)>0 所以只要(a/(1-2a))(a^x-1)>0 这里的x是大于0的 前面说过
这里因为有指数函数所以考虑a
当0<a<1时 a^x-1<0
解不等式a/(1-2a)<0 a<0或a>1/2
此时a的解集为 1/2<a<1
当a>1时 a^x-1>0
解不等式a/(1-2a)>0 0<a<1/2
此时a无解

最后两种情况取并集 {a| 1/2<a<1}

Answer 2

解：设x1>x2>0，则
f（x1）-f（x2）=)=[a/(1-2a)][a^x1 -a^(-x1)]-[a/(1-2a)][a^x2 -a^(-x2)]
=[a/(1-2a)](a^x1 -a^x2)[a^(x1+x2)-1]/a^(x1+x2)
(1)当a>1时，a^x1 -a^x2>0,a^(x1+x2)-1>0,a^(x1+x2)>0,即要求
a/(1-2a)>0
0<a<1/2与a>1相矛盾
（2）当0<a<1时，a^x1 -a^x2<0,a^(x1+x2)-1<0,a^(x1+x2)>0,即要求
a/(1-2a)>0
0<a<1/2
所以0<a<1/2