Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等．（1）求曲线C的方程；

Answer 1

解:(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点
∴点P(x，y)满足√(x-1)²+y²
-x=1(x＞0)
∴化简得:y²=4x(x＞0)①
(2)设过点M(m,0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)B(x2,y2)
设l的方程为:x=ty+m ②
将①②联立方程组得:
y²-4ty-4m=0,Δ=16(t²+m)＞0
于是y1+y2=4t，y1y2=-4m ③
∴→FA=(x1-1,y1),→FB=(x2-1,y2)
∴→FA·→FB＜0
∴(x1-1)(x2-1)+y1·y2=x1·x2 -(x1+x2)+1+y1y2＜0 ④
又∵x=y²/4,于是不等式④等价于:
y1²/4·y2²/4+y1.y2-(y1²/4+y2²)+1＜0
∴(y1y2)²/16+y1y2-1/4[(y1+y2)²-2y1y2]+1＜0 ⑤
由③式，不等式⑤等价于m²-6m+1＜4t²
对任意实数t，4t²的最小值为0
∴不等式m²-6m+1＜4t²对于一切t成立，等价于m²-6m+1＜0，
即3-2√2＜m＜3+2√2
由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)且与直线C有两个交点A，B的任一直线，都有→FA ·→FB＜0，且m的取值范围是(3-2√2，3+2√2)