Question

怎样证明二重积分的中值定理？

Answer 1

二重积分的中值定理

设f(x,y)在有界闭区域D上连续，  是D的面积，则在D内至少存在一点  ，使得

定理证明

设  （x）在  上连续，且最大值为  ，最小值为  ，最大值和最小值可相等。

由估值定理可得  

同除以（b-a）从而由连续函数的介值定理可知，必定  ，使得  ，即：命题得证。

扩展资料：

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。