Question

设f(x)=(a^x +a^-x)/2 g(x)=(a^x -a^-x)/2 （其中a>0 且a≠1),

设f(x)=(a^x +a^-x)/2 g(x)=(a^x -a^-x)/2 （其中a>0 且a≠1),
(1)有5=2+3，请你探究g(5)能否用f(2),g(2),f(3),g(3)来表示
(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广

Answer 1

解：f(x)=(a^x +a^-x)/2 g(x)=(a^x -a^-x)/2
f(x)+g(x)=a^x
f(x)-g(x)=a^-x
所以f(2)+g(2)=a^2，f(3)+g(3)=a^3,a^5=a^2a^3=[f(2)+g(2)][f(3)+g(3)]
f(2)-g(2)=a^-2，f(3)-g(3)=a^-3,a^-5=a^-2a^-3=[f(2)-g(2)][f(3)-g(3)]
g(5)=(a^5-a^-5)/2={[f(2)+g(2)][f(3)+g(3)]-[f(2)-g(2)][f(3)-g(3)]}/2

同理如果x1=x2+x3，则
g(x1)={[f(x2)+g(x2)][f(x3)+g(x3)]-[f(x2)-g(x2)][f(x3)-g(x3)]}/2
f(x1)={[f(x2)+g(x2)][f(x3)+g(x3)]+[f(x2)-g(x2)][f(x3)-g(x3)]}/2