Question

9.设矩阵A=的三个特征值分别为λ1,λ2,λ3,则λ1+λ2+λ3 = （ 5 ）？

Answer 1

根据特征值的性质定理：
设n阶方阵A=(aij)的特征值λ1,λ2,λ3,……λn,则有
（1）λ1+λ2+λ3+……+λn=a11+a22+a33+……+ann
（2）λ1*λ2*λ3*……*λn=|A|
所以,λ1+λ2+λ3 = a11+a22+a33=1+3+1=5
或者,根据特征值的定义来求：
λ-1 1 -1
特征方程为：|λI-A|= -1 λ-3 1 =0
-1 -1 λ-1
解之,得(λ-1)(λ-2)^2=(λ-1)(λ-2)(λ-2)=0
因为二重根要算两次,所以,λ1=1,λ2=2,λ3=2
所以,λ1+λ2+λ3 =1+2+2=5,9,行列式
λ-1 1 - 1
-1 λ-3 1
-1 -1 λ-1
中二次项系数的相反数。（λ-1）（λ-1）（λ-3）展开式中二次项系数的相反数。1+1+3=5,0,9.设矩阵A=的三个特征值分别为λ1,λ2,λ3,则λ1+λ2+λ3 = （ 5 ）
1 -1 1
A= 1 3 -1
1 1 1