Question

高一数学，在线求解（需详解，万分感谢）

1.f(x-1)=x²-2x，则f(x)=？
2.f(x)=x²-2（a-1)x+2在区间（—∞，4]上是减函数，则实数a的范围是？
3.已知集合A=｛x|x²-5x+6<0},B={x|x<a},若A是B的真子集，则实数a的范围？
对于第2题，我怎么算的是x=1-a,a>=-3啊~~~

Answer 1

1.令u=x-1, 则x=u+1,代入f(x-1)=x²-2x, 得f(u) = (u+1)²-2(u+1) = u²+2u+1-2u-2 = u²-1, 即f(x)=x²-1.

2.该函数是二次的, 函数图像是抛物线, 由其单调性和奇偶性可知, 抛物线的对称轴要在大于等于4. 对于f(x)=ax²+bx+c这样的形式，其对称轴是x=-b/(2a).
因此f(x)=x²-2(a-1)x+2的对称轴是x=-[-2(a-1)]/2=a-1, 接下来只要解不等式a-1≥4就行了.解得a≥5, 即a∈[5,+∞).

3.先解这个不等式x²-5x+6<0, 将x²-5x+6因式分解得到(x-2)(x-3), 因此不等式的解为2<x<3, 即x∈(2,3).因此A=(2,3). 而B=(-∞,a), 若A是B的真子集, 显然a≥3，即a∈[3,+∞).

【对问题补充的回复】
显然犯了两个错误，一个是再解对称轴的时候，正负号弄反了。我们一步一步来看吧：
所谓对称轴就是使得对于所有x来说都有f(s-x)=f(s+x)成立的那个s（就是x=s这条直线）
特别的，对于二次函数，只要变成f(x)=a(x-b)²+c这种形式，自然就看出那个对称轴就是x-b=0，也就是x=b；如果不放心的话，你就令f(s-x)和f(s+x)相等（注意，是要在x取任何值的时候都相等），把s解出来就是了。
针对这道题，有：
f(x)=x²-2(a-1)x+2
=x²-2(a-1)x+(a-1)²-(a-1)²+2
=[x-(a-1)]²-(a-1)²+2
因此对称轴就是x-(a-1)=0，也就是x=a-1
其次，你弄错了大于小于号，不知道那个4究竟应该在对称轴左边还是右边。在纸上画一下，这是个开口向上的抛物线，对称轴左边单调递减，右边单调递增，如果4在对称轴右边的话，就不能保证函数(-∞,4]上递减了，所以4不能够比对称轴大，而是要小于等于对称轴，换句话说，对称轴就要大于等于4。
也就是a-1≥4，解出来就是a≥5了。

Answer 2

1 f(x-1)=(x-1)^2-1
所以f(x)=x^2-1
2 f(x)=(x-(a-1))^2-a^2+2a+1
所以a-1<=4 ,a<=5,a属于（—∞，5]
3 (x-2)(x-3)<0,所以2<x<3
所以A=｛x|2<x<3},所以a>=3

Answer 3

1.x-1)=x(x-1)=(x-1)(x-1-1)+(x-1-1)
∴f(x)=x(x-1)+x-1=x²-1
2.由题可知，这是个开口向上的二次函数，所以其对称轴大于等于4，即
-（2(a-1))/-2=a-1>=4
∴a>=5
3.不难算出A=（2,3），因为A是B的真子集，
∴a>=3

Answer 4

1.令t=x-1,得x=t+1 所以 f(t)=(t+1)²-2(t+1)=t²-1
故 f(x)=x²-1
2.由已知可得 f(x)的对称轴为x=a-1
再结合二次函数的图象可知 对称轴应在4的右侧
从而有 a-1大于等于4 解得 a大于等于5
3.由已知得 集合A=（2,3）
画出数轴可知 a大于等于3