Question

设函数f(x)=ax2+bx+c (a>0)且f(1)=-a/2

(1) 设x1 x2是函数f(x)的两个零点，求|x1-x2|的取值范围
(2)求证函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点

Answer 1

解：
(1)
x=1,f(x)=-a/2代入函数方程：
a+b+c=-a/2
b=-3a/2-c
对于方程ax^2+bx+c=0,由韦达定理，得
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a

(x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1x2
=(-b/a)^2-4c/a
=(b^2-4ac)/a^2
=9/4-c/a+(c/a)^2
=[(c/a)-1/2]^2+2≥2
|x1-x2|≥√2

(2)
a>0
f(0)=c
f(1)=-a/2<0
f(2)=4a+2b+c=4a+b-3a/2=4a-3a/2-3a/2-c=a-c
c<0时，f(0)<0 f(2)>0，函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点
c>0时，f(0)>0,f(1)<0, 函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点
c=0时，f(1)<0,f(2)>0, 函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点

综上，函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点。

Answer 2

1.
f(1)=a+b+c=-a/2
把这个式子整理一下，得到3a+2b+2c=0，题设说 3a，2c,2b这三个数有关系3a>2c>2b，它们相加为0，一定有3a>0,2b<0
即a>0,b<0
将条件不等式中 的2c用-3a-2b替换 即3a>-3a-2b>2b 解得,-3<b/a<-3/4

2.
f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+(a-c)=a-c,注意到3a>2c，即c2,且a>0，接下来要分类讨论了：
0<a<c<3a/2时
这时f(0)=c>0,f(2)=a-c<0，在(0,2)间必有零点；
c<0时
这时f(0)=c0，在(0,2)间必有零点；
0<c<a时
我们来看函数的对称轴x=-b/2a，由于b=-(3a+2c)/2,c的范围为（0,a)
联立可得-b/2a的范围为(5/4,3/2),是在（0,2)区间内，方程判别式
b^2-4ac=(3a+2c)^4-4ac=(9a^2-4ac+4c^2)/4,这个式子配方后是两个完全平方的和，所以原方程判别式不大于等于0，即原方程一定与x轴有交点，又f(0)>0,f(2)>0,可知这个交点一定在(0,2)间
c=0或c=2时，这个可以单独提出来算一下，可以得到确定的结果，是满足题设的。