Question

数列求和问题...

an=1/（2n²-2n+1）求Sn

Answer 1

1、(1)求an的通项
a1=1/2，设公比q,q>0。
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

2^10*S[30]-(2^10+1)S[20]+S[10]=0
2^10*(S[30]-S[20])-(S[20]-S[10])=0

因为S[30]-S[20]=q^10(S[20]-S[10])
方程两边同除以(S[20]-S[10])得：
则：2^10*q^10-1=0
即q^10=(1/2)^10,q>0
解得：q=1/2
所以a[n]=(1/2)^n

（2）求nSn的前n项和Tn
q=1/2，a[n]=(1/2)^n时，S[n]=1/2(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=1-(1/2)^n
nS[n]=n-n*(1/2)^n
∑n=n(n+1)/2
因为：∑n*(1/2)^n-(1/2)*∑n*(1/2)^n=1/2-n*(1/2)^(n+1)
所以：∑n*(1/2)^n=1-n(1/2)^n

所以Tn=∑n=n(n+1)/2-∑n*(1/2)^n=n(n+1)/2+n(1/2)^n-1

2.已知公差不为0的等差数列an中部分项ak1,ak2,....akn（k1 k2 kn均是下标）恰好构成等比数列，其中k1=1 k2=5 k3=17,求k1+k2+k3....+kn

设首先为m，公差为d.
a[k1]=a[1]=m
a[k2]=a[5]=m+4d
a[k3]=a[17]=m+16d

(m+4d)^2=m(m+16d)
化简得：16d^2=8md，d≠0,所以：2d=m
a[1]=2d
a[5]=m+4d=6d
公比q=a[5]/a[1]=3

等差数列中：a[kn]=a1+(kn-1)d=2d+(kn-1)d
等比数列中：a[kn]=a[k1]*q^(n-1)=2d*3^(n-1)
所以：
2d+(kn-1)d＝2d*3^(kn-1)
化简得：kn+1=2*3^(n-1)
kn=2*3^(n-1)-1
所以：
∑kn=∑ [n=1,2,3,4……n，共n项]
=2(1-3^n)/(1-3)-n [注：前面是等比数列求和]
=3^n-n-1