Question

已知f(x）为定义在（-1,1）的奇函数当x属于（0,1）时，f(x)=2的x方/4的x方+1

求f(x)在（-1,1）上的解析式
判断F(x)在何区间上为减区间

Answer 1

解：
由函数的定义域[-1,1]，②f(-x)=-f(x)可判断f(x)在[-1,1]上为奇函数.
因为奇函数关于原点对称，故f(-1)=-f(1)=-1.
又此题f(x)的定义域为[-1,1]，没有除去0点，故函数图像过原点，所以f(0)=0.

由条件③有f（x+0.5）+f[-1/(x+1)]/[x+0.5-1/(x+1)]＞0…⑴

由f（x+0.5）＜f[1/(x+1)]有：f（x+0.5）-f[1/(x+1)]＜0
又奇函数f(x)，从而：f（x+0.5）+f[-1/(x+1)]＜0…⑵

故要满足⑴，且f（x+0.5）+f[-1/(x+1)]＜0，故x+0.5-1/(x+1)＜0…⑶

解这个不等式就要注意了！

由函数f(x)定义为[-1,1]，得函数f(x+0.5)定义域：-1≤x+0.5≤1,即-1.5≤x≤0.5…⑷

函数f[1/(x+1)]的定义域：-1≤1/(x+1)≤1，即：|1/(x+1)|≤1,解得：x≤-2或x≥0…⑸

由⑷⑸得0≤x≤0.5，从而不等式⑶可化为（x+0.5)(x+1)＜1,解得：
（-3-√17）/4＜x＜（-3+√17）/4，再综合0≤x≤0.5
得：0≤x＜（-3+√17）/4.

Answer 2

当x∈(-1,0)时，函数解析式
f′(x)=-f(-x)=-2^x/(4^x+1)
所以f(x)在（-1,1）上的解析式为：
f(x)=2^x/(4^x+1) [x∈(0,1)]
0 (x=0)
-2^x/(4^x+1) [x∈(-1,0)]
当x∈(0,1)时，f(x)-f(x-1) =2^x/[(4^x+1)(4^x+2)]显然它恒大于零，为递增区间，那么，9-1,0)就为递减区间。