什么叫悖论有哪些有名的悖论
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bèilùn （paradox，也称逆论，反论）
在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。
悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。
那么命题B就是一个悖论。
当然非B也是一个悖论。
我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题，这种情况说明了什么问题？
自然在整体上是包含多样性的，而我们却置这些情况于不顾，而专门关注属于我们感兴趣的那一种特殊情况，当特殊情况与其它相反的情况或普遍性存在的一般情况相遇时必然产生某种相悖的结论。
不是数学悖论对数学基础产生大的危机影响，而是对逻辑和认识产生重大影响。
无限集合本身就是一个模糊不清的概念规定，有限是可以称为集合，无限是不能称为集合的。
集合是指表示在某一个范围内，无限则是指范围为无限大的，否则就不应该称为无限而称有限。
无限不应该成为一个任意性选择或适用的范围，一个数量当超过人类所能达到或认识的程度便进入无限的范围之中。
到现在为止，人类还没有完全清楚地知道我们所能认识到的半径有多大，所以无法准确精确地规定无限与有限它们之间的界限究竟在那里。
集合本身的概念就是一个没有限制性的概念，总的集合可任意分成若干集合，都是集合，确切地说我们不知道究竟是在那种意义前提限制下的集合。
子集合中存在悖论，或与别的集合之间存在悖论，子母集合之间也还存在悖论，因为在每种具体的子集合中都有属于它自身的规定规则，只在自身范围有效。
超越范围则失效，这是永远不可避免或取消的。
除非取消类的集合层次之间的区别，那么又不符合对待具体事物的态度，无法满足实际应用要求。
另外集合的本义与引申义常混合使用，有时与元素意义混同，集合在低层次相当于元素，当上升时为集合，当再次上升时又相当于元素，是累积式的。
罗素悖论在当它们还没有进行相互联系时是有效的，当它们进行相互联系时即它们已经成为一个类或一个整体，那么一个类或一个整体中是不允许或无法执行两种衡量标准或规定的，自我否定是和没说一个样，或等于没有规定一样。
哥德尔关于一阶逻辑完全性定理与不完全性定理的本身就是悖论，已经暴露出逻辑导致发生的问题。
哥德尔不完全性定理是缺乏评判，以决定的主导方面为衡量标准，或衡量标准过多而引起的悖论。
所谓的标准也是一种规定。
失效以后还可以根据实际需要再次进行新的规则规定，反正原来的规则也是规定，为什么出现发生悖论以后不可以再次重新进行规定规则，以满足实际应用的目的的需要呢？明明是自己的规定，可是自己又制造新的规定来破坏原来的规定，如果这样来干活，那么将永远有活干了，永远有干不完的活。
类是人为区分出来的，但类是根据需要人为任意性制造的，若分类，故类有所不同。
在整体上却不存在类同与不同，由于类不同，故数也有所不同，有些不同相悖是很正常必然的。
然而人们又想进行类与数之间变换，那么又不得不重新再作新的规定。
证明也只是按照预先所设置和认为的规定去操作，必然会符合规定，我们只管按规定操作执行好了，证明又有什么作用或意义呢？类的悖论问题不是通过进行证明就所能解决得了的。
悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。
这就是说它带有强烈的游戏色彩。
然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。
欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。
莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。
希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。
冯·纽曼奠基了博弈论。
最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。
爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题。
即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
最早的悖论被认为是古希腊的"说谎者悖论".
编辑本段原理
同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。
一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即是某些特殊的思想规定的产物，它们就不可能是事物辩证性质的直接反映；进而，我们也就不能把它们说成是“特殊的客观真理”，而只能说它们是“歪曲了的真理”。
因此，悖论实质上是客观实在的辩证性与主观思维的形而上学性及形式逻辑化的方法的矛盾的集中表现。
具体地说，作为客观世界的一个部分或侧面，认识或理论(数学理论、语义学理论)的研究对象在本质上往往是辩证的，即是诸对立环节的统一体；然而，由于主观思维方法上的形而上学或形式逻辑化的方法的限制，客观对象的这种辩证性在认识过程中常常遭到了歪曲：对立统一的环节被绝对地割裂开来，并被片面地夸大，以致达到了绝对、僵化的程度，从而辩证的统一就变成了绝对的对立；而如果再把它们机械地重新联结起来，对立环节的直接冲突就是不可避免的了，而这就是悖论。
形式
悖论有三种主要形式。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
类型
悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。
罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。
但是，罗素悖论并不是头一个悖论。
老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。
罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。
这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。
即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。
这些悖论合在一起，造成极大问题，促使大家都去关心如何解决这些悖论。
头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论，这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。
这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。
可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。
这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。
这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。
有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。
布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。
罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。
法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路，他区分了相容集和不相容集。
这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。
不久之后，罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。
经典数学悖论
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。
第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论
（一）由自指引发的悖论
以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。
1－1 谎言者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。
《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。
可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。
人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：
1－2 “我在说谎”
如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。
矛盾不可避免。
它的一个翻版：
1－3 “这句话是错的”
这类悖论的一个标准形式是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。
拓扑学中的单面体是一个形像的表达。
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。
他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。
这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。
在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”
他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。
事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。
只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” （同上）
罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。
“1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上）
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。
但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。
接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。
但是在集合论里，问题并不这么简单。
1－4 理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。
有言在先，他应该给自己理发。
反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。
因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。
这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。
这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。
显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。
1－5 集合论悖论
“R是所有不包含自身的集合的集合。”
人们同样会问：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定义，R应属于R。
如果R包含自身的话，R又不属于R。
继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔（Kurt Godel ，1906－1978，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。
这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。
例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。
1－6 书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出且只列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。
那么它列不列出自己的书名？
这个悖论与理发师悖论基本一致。
1－7 苏格拉底悖论
有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Socrates，公元前470－前399）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。
他建立 “定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。
但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。
在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。
苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”
这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。
古代中国也有一个类似的例子：
1－7 “言尽悖”
这是《庄子·齐物论》里庄子说的。
后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗？我们常说：
1－7 “世界上没有绝对的真理”
我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。
1－8 “荒谬的真实”
有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。
悖论（paradox）来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。
有没有进一步的解决办法？在下面一节的最后一部份还将继续探讨。
（二）引进无限带来的悖论
《墨子·经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。
在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。
悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。
那么命题B就是一个悖论。
当然非B也是一个悖论。
我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题，这种情况说明了什么问题？
自然在整体上是包含多样性的，而我们却置这些情况于不顾，而专门关注属于我们感兴趣的那一种特殊情况，当特殊情况与其它相反的情况或普遍性存在的一般情况相遇时必然产生某种相悖的结论。
不是数学悖论对数学基础产生大的危机影响，而是对逻辑和认识产生重大影响。
无限集合本身就是一个模糊不清的概念规定，有限是可以称为集合，无限是不能称为集合的。
集合是指表示在某一个范围内，无限则是指范围为无限大的，否则就不应该称为无限而称有限。
无限不应该成为一个任意性选择或适用的范围，一个数量当超过人类所能达到或认识的程度便进入无限的范围之中。
到现在为止，人类还没有完全清楚地知道我们所能认识到的半径有多大，所以无法准确精确地规定无限与有限它们之间的界限究竟在那里。
集合本身的概念就是一个没有限制性的概念，总的集合可任意分成若干集合，都是集合，确切地说我们不知道究竟是在那种意义前提限制下的集合。
子集合中存在悖论，或与别的集合之间存在悖论，子母集合之间也还存在悖论，因为在每种具体的子集合中都有属于它自身的规定规则，只在自身范围有效。
超越范围则失效，这是永远不可避免或取消的。
除非取消类的集合层次之间的区别，那么又不符合对待具体事物的态度，无法满足实际应用要求。
另外集合的本义与引申义常混合使用，有时与元素意义混同，集合在低层次相当于元素，当上升时为集合，当再次上升时又相当于元素，是累积式的。
罗素悖论在当它们还没有进行相互联系时是有效的，当它们进行相互联系时即它们已经成为一个类或一个整体，那么一个类或一个整体中是不允许或无法执行两种衡量标准或规定的，自我否定是和没说一个样，或等于没有规定一样。
哥德尔关于一阶逻辑完全性定理与不完全性定理的本身就是悖论，已经暴露出逻辑导致发生的问题。
哥德尔不完全性定理是缺乏评判，以决定的主导方面为衡量标准，或衡量标准过多而引起的悖论。
所谓的标准也是一种规定。
失效以后还可以根据实际需要再次进行新的规则规定，反正原来的规则也是规定，为什么出现发生悖论以后不可以再次重新进行规定规则，以满足实际应用的目的的需要呢？明明是自己的规定，可是自己又制造新的规定来破坏原来的规定，如果这样来干活，那么将永远有活干了，永远有干不完的活。
类是人为区分出来的，但类是根据需要人为任意性制造的，若分类，故类有所不同。
在整体上却不存在类同与不同，由于类不同，故数也有所不同，有些不同相悖是很正常必然的。
然而人们又想进行类与数之间变换，那么又不得不重新再作新的规定。
证明也只是按照预先所设置和认为的规定去操作，必然会符合规定，我们只管按规定操作执行好了，证明又有什么作用或意义呢？类的悖论问题不是通过进行证明就所能解决得了的。
悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。
这就是说它带有强烈的游戏色彩。
然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。
欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。
莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。
希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。
冯·纽曼奠基了博弈论。
最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。
爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题。
即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
最早的悖论被认为是古希腊的"说谎者悖论".
编辑本段原理
同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。
一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即是某些特殊的思想规定的产物，它们就不可能是事物辩证性质的直接反映；进而，我们也就不能把它们说成是“特殊的客观真理”，而只能说它们是“歪曲了的真理”。
因此，悖论实质上是客观实在的辩证性与主观思维的形而上学性及形式逻辑化的方法的矛盾的集中表现。
具体地说，作为客观世界的一个部分或侧面，认识或理论(数学理论、语义学理论)的研究对象在本质上往往是辩证的，即是诸对立环节的统一体；然而，由于主观思维方法上的形而上学或形式逻辑化的方法的限制，客观对象的这种辩证性在认识过程中常常遭到了歪曲：对立统一的环节被绝对地割裂开来，并被片面地夸大，以致达到了绝对、僵化的程度，从而辩证的统一就变成了绝对的对立；而如果再把它们机械地重新联结起来，对立环节的直接冲突就是不可避免的了，而这就是悖论。
形式
悖论有三种主要形式。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
类型
悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。
罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。
但是，罗素悖论并不是头一个悖论。
老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。
罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。
这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。
即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。
这些悖论合在一起，造成极大问题，促使大家都去关心如何解决这些悖论。
头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论，这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。
这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。
可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。
这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。
这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。
有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。
布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。
罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。
法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路，他区分了相容集和不相容集。
这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。
不久之后，罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。
经典数学悖论
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。
第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论
（一）由自指引发的悖论
以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。
1－1 谎言者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。
《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。
可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。
人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：
1－2 “我在说谎”
如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。
矛盾不可避免。
它的一个翻版：
1－3 “这句话是错的”
这类悖论的一个标准形式是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。
拓扑学中的单面体是一个形像的表达。
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。
他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。
这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。
在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”
他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。
事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。
只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” （同上）
罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。
“1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上）
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。
但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。
接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。
但是在集合论里，问题并不这么简单。
1－4 理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。
有言在先，他应该给自己理发。
反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。
因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。
这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。
这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。
显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。
1－5 集合论悖论
“R是所有不包含自身的集合的集合。”
人们同样会问：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定义，R应属于R。
如果R包含自身的话，R又不属于R。
继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔（Kurt Godel ，1906－1978，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。
这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。
例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。
1－6 书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出且只列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。
那么它列不列出自己的书名？
这个悖论与理发师悖论基本一致。
1－7 苏格拉底悖论
有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Socrates，公元前470－前399）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。
他建立 “定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。
但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。
在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。
苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”
这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。
古代中国也有一个类似的例子：
1－7 “言尽悖”
这是《庄子·齐物论》里庄子说的。
后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗？我们常说：
1－7 “世界上没有绝对的真理”
我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。
1－8 “荒谬的真实”
有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。
悖论（paradox）来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。
有没有进一步的解决办法？在下面一节的最后一部份还将继续探讨。
（二）引进无限带来的悖论
《墨子·经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。
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