Question

已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，角F1PF2=60。求1。椭圆离心率的取值范围2。求证：三角形F1PF

已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，角F1PF2=60。求1。椭圆离心率的取值范围2。求证：三角形F1PF2的面积只与椭圆短轴长有关。

Answer 1

1,记椭圆与Y轴的一个交点为A,根据椭圆的性质知，角F1AF2>60°
所以 1/2<e<1
2,记长半轴为b，短半轴为a
三角形F1PF2的面积S=1/2cos60°·PF1·PF2
由三角形的性质知cos60°=√3/2
=(PF1²+PF2²-F1F2²)/(2PF1·PF2)
=[(PF1+PF2)²-F1F2²]/(2PF1·PF2)-1
=2a²/(PF1`PF2)-1
所以PF1`PE2=2a²/(√3/2+1)将其带入S中，唯一的变量为a,故得证。

Answer 2

修改：椭圆中心在原点，向量F2P·向量F2Q=-4，否则，你给定的条件只能确定椭圆的形状，不能确定椭圆的位置，所以求不出椭圆的方程。

△ABF2的周长为2a+2a=4a，所以边长为4a/3，
焦距2c=(4a/3)cos30°=2a/√3,
离心率e=c/a=1/√3=(√3)/3.
且得b²=a²-c²=a²-(a/√3)²=2a²/3

l的斜率为tan45°=1，
方程为y-0=1*(x+a/√3),
即y=x+a/√3……①,
亦即x=y-a/√3……②
椭圆方程为x²/a²+y²/(2a²/3)=1,
即2x²+3y²-2a²=0……③
①代入③得：5x²+2ax√3-a²=0
由韦达定理：x1x2=-a²/5
②代入③得：5y²+4ay/√3-4a²/3=0
由韦达定理：y1y2=-4a²/15
向量F2.P 乘以向量F2 Q=-4,
即x1x2+y1y2=4
亦即-a²/5-4a²/15=-4
解得a²=60/7,
代入③得，
椭圆方程为：14x²+21y²-120=0