Question

已知k为整数,关于x的方程kx²+（2k+3)x+1=0有有理根,则k的值是？

Answer 1

8.∵方程有有理根,∴判别式△1=(2k+3)2-4k为完全平方数.
　　设(2k+3)2-4k=m2(m为正整数),即4k2+8k+9-m2=0①
　　将①式看作关于k的二次方程,由题设知有整数根,故①式的判别式
　　△2=64-16(9-m2)=16(m2-5)应为完全平方数.而16是完全平方数,
　　令m2-5=n2(n为正整数,且m＞n),则有(m+n)(m-n)=5,
　　∴解得
　　将m=3代入①式得k=-2或k=0(舍去),
　　∴k=-2.
　　说明：本题也可由△1=4(k+1)2+5为完全平方数直接求得k=-2.,8,∴解得？,k=0时，成立
k不等于0时
(2k+3)^2-4k=n^2=(4K^2+8k+9)=[2(k+1)]^2+5 k=-2 成立
[n-2(k+1)][n+2(k+1)]=1*5
n-2(k+1)=1 n+2(k+1)=5 或者 n-2(k+1)=5 n+2(k+1)=1
或者n-2(k+1)=-1 n+2(k+1)=-5或者 n-2(k+1)=-5 n+2(k+1)=-1,2,k为整数，关于x的方程kx²+（2k+3)x+1=0有有理根，
∴△=（2k+3)^2-4k=4k^2+8k+9=(2k+2)^2+5=m^2,m∈N,
∴（m+2k+2)(m-2k-2)=5,
<==>{m+2k+2=5,m-2k-2=1}或{m+2k+2=-5,m-2k-2=-1}
或{m+2k+2=1,m-2k-2=5}或{m+2k+2=-1,m-2...,1,