Question

微积分入门的几个问题

关于连续函数的
1.函数的和差商积连续性定理：连续有限个连续函数四则运算后仍是连续函数.必须是有限个连续函数进行运算吗 如果是无限个是否还满足这个定理？
2.所有的初等函数都有定义区间吗？比如y=(1-x^2)^0.5+(x^2-1)^0.5 它的定义域不是一个点吗 这样的话 关于定理：所有的初等函数在其定义区间都是连续的 是不是缺少前提？

Answer 1

1. 无限个不满足这个定理。 但在一定条件下是可以的，以后你学幂级数等就会清楚了。 你这个问得好。下面只考虑相加，无穷相加，其定义为 f1（x)+f2(x) + ...+fn(x) 当 n-->无穷大时的极限。

你说的结论一般不成立，反例如下：
a).可能函数值是不确定。 例如；
f1(x) = x, f2(x) = -x, ...,f(2n-1)(x) = x, f(2n)(x) = -x,...

如果是有限和 f1 +...+fn，奇数个的和为x, 偶数个的为0. 但无穷多个只能是没极限，不确定了。
b). 可能为无穷大。
f1(x) = x, f2(x) = x, ...,fn(x) = x,...
如果是有限和 f1 +...+fn，和为f(x)=nx, 无穷多个的和为无穷大。
c). 也可能无穷和存在，但是极限函数不连续。构造例子有点罗嗦。

2. 函数连续意思指一个点靠近某个点，两点的函数值也会近。这是函数的一个性质，我们利用它来解决一些问题。如果定义域只有一个点，谈连续的意义不大。 但我们给出一个一般性定义时，往往有些特别的意义不大的个别情形，这时，只能说是一种方便的规定了。定义域只有一个点，当我们考虑连续性的定义时，可以说它没定义，也可以规定它连续。但按书上的定义，它被规定为连续的。

Answer 2

1.这问题纯粹牛角尖，无限相加你能得到一个确定函数式吗，每一个x都确定有固定的函数值吗？没有固定函数值怎么讨论连续性呢？~~
2.所有函数必有定义区间，点是没有连续概念的，数学的目的是化繁为简，
而一个点，准确说来不是一个函数，因为它没有自变量，不予以讨论，
还是牛角尖~~

Answer 3

1中无限个也满足
2中不是所有的初等函数都有定义域的，比如y=x的定义域就是整个数轴。所有的初等函数在其定义区间都是连续的不缺少前提，在其定义区间就指定了它的前提，它的前提是所有初等函数的定义区间内，所以不用去特意说明。