Question

为什么连续就说明傅里叶级数的和函数就是F(x)在(0，π)上的取值？

Answer 1

根据傅里叶级数的定义，对于一个周期为2π的周期函数f(x)，它的傅里叶级数可以表示为：

f(x) = a0 + ∑[ancos(nx) + bnsin(nx)] (n从1到正无穷)

其中，an和bn是傅里叶系数，它们的计算公式为：

an = (1/π) ∫[f(x)cos(nx)]dx （从-π到π的积分）

bn = (1/π) ∫[f(x)sin(nx)]dx （从-π到π的积分）

如果函数f(x)在周期为2π的区间上满足连续和可导，且在端点处左右极限相等，则可以证明在区间(0,π)上f(x)的傅里叶级数可以表示为：

f(x) = (a0/2) + ∑[ancos(nx) + bnsin(nx)] (n从1到正无穷)

这是因为在区间(0,π)上，cos(nx)和sin(nx)都是奇函数，它们的积分在(0,π)上是偶函数，因此只有an和bn中的奇数项对积分有贡献，而a0和偶数项的系数都为0。由此得到上述式子。

因此，当函数在周期区间上满足连续和可导条件时，可以使用傅里叶级数在(0,π)上的求和来逼近原函数。但是需要注意的是，傅里叶级数的逼近精度与原函数的连续性和可导性有关，如果原函数在周期区间上不满足这些条件，则傅里叶级数的逼近效果可能不理想。