Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=Sn+（n+1）（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，？

Answer 1

解题思路：（1）由已知得出a n+1=S n+（n+1）当n≥2时，a n=S n-1+n，两式相减并整理、得出a n+1=2a n+1．（n≥2），并对n=1单独验证．
（2）在a n+1=2a n+1两边同时加上1得出a n+1+1=2（a n+1），可以判定{a n+1}是等比数列
（3）通过求出数列{a n+1} 的通项公式得出数列{a n}的通项公式，再求和即可．
（1）由an+1=Sn+（n+1）①
得出n≥2时
an=Sn-1+n ②
①-②得出
an+1-an=an+1
整理an+1=2an+1．（n≥2）
由在①中令n=1得出a2=a1+2=3，满足a2=2a1+1
所以an+1=2an+1．（n≥1）
（2）在an+1=2an+1两边同时加上1得出
an+1+1=2（an+1）
根据等比数列的定义，得出数列{an+1}是以2为公比的等比数列
（3）由（2）数列{an+1} 的通项公式为an+1=2•2 n-1=2n
所以an=2n-1，
Sn=（21-1）+（22-1）+…（2n-1）
=
2(1−2n)
1−2-n
=2 n+1-2-n．
,4,An+1=Sn+(n+1)
An=S(n-1)+n
相减：A(n+1)-An=Sn-S(n-1)+1=An+1 (An=Sn-Sn-1)
所以：A(n+1)=2An+1
A(n+1)+1=2(An+1)
所以{An+1}是等比数列，公比为2,首项为A1+1=2
An+1=2*2^(n-1)=2^n
An=2^n-1
n=1时，A1...,0,a(n+1)=Sn+(n+1)
所以an=S(n-1)+n
相减
a(n+1)-an=Sn-S(n-1)+1
因为Sn-S(n-1)=an
所以a(n+1)-an=an+1
所以a(n+1)=2an+1
a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)
所以[a(n+1)+1]/(an+1)=2
...,0,已知数列{a n}满足a 1=1，a n+1=S n+（n+1）（n∈N *），其中S n为{a n}的前n项和，
（1）用a n表示a n+1；
（2）证明数列{a n+1}是等比数列；
（3）求a n和S n．