Question

设f(x)=[g(x)-g(x0)]·φ(x),已知g (x )，φ(x)在x0连续求f(x0)

怎么用导数的定义求啊

Answer 1

根据题目，有 $f(x)=[g(x)-g(x_0)]\cdot \phi(x)$，其中 $g(x)$ 和 $\phi(x)$ 在 $x_0$ 处连续。要求 $f(x_0)$，可以将 $x$ 替换为 $x_0$，得到：$$f(x_0)=[g(x_0)-g(x_0)]\cdot \phi(x_0) = 0.$$因为 $g(x)$ 和 $\phi(x)$ 在 $x_0$ 处连续，所以 $f(x)$ 在 $x_0$ 处也连续，因此 $f(x_0)$ 存在且等于 $0$。因此，$f(x_0)=0$。
可以使用导数的定义来求函数在某一点的导数。设函数 $y=f(x)$，在点 $x_0$ 处的导数定义为：
$$
f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.
$$
其中 $\Delta x$ 表示 $x$ 的增量，即 $\Delta x = x - x_0$。
要求函数在 $x_0$ 处的导数，按照上述定义可以进行以下步骤：
1. 计算出 $\Delta x$ 的极限值，即 $\Delta x \to 0$。
2. 计算出 $f(x_0+\Delta x)$ 和 $f(x_0)$ 的差值，即 $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。
3. 将步骤 1 和步骤 2 的结果代入导数的定义式中，计算出导数。
例如，对于函数 $f(x)=x^2$，要求在点 $x_0=2$ 处的导数，可以按照如下步骤进行：
1. 令 $\Delta x = x - x_0$，则 $\Delta x \to 0$ 时，有 $\Delta x \to 0$。
2. 计算出 $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，即 $f(2+\Delta x)-f(2)=(2+\Delta x)^2-2^2=4\Delta x + \Delta x^2$。
3. 将步骤 1 和步骤 2 的结果代入导数的定义式中，得到：
$$
\begin{aligned}
f'(2) &= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{4\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x\to 0}(4 + \Delta x) \\
&= 4.
\end{aligned}
$$
因此，函数 $f(x)=x^2$ 在点 $x_0=2$ 处的导数为 $f'(2)=4$。