Question

函数f(x)=x+1/x 证明f(x)在(0,1)上是减函数

Answer 1

证明：

任取0<x1<x2<1
则f(x1)-f(x2)
=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
∵0<x1<x2<1
∴x1-x2<0
1-1/x1x2<0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-1/x1x2)>0
∴f(x)在(0,1)上是减函数

Answer 2

定义法
设0<x1<x2<1
所以：x1-x2<0,0<x1x2<1,1/x1x2>1,1-1/x1x2<0
f(x1)-f(x2)=x1-x2+(1/x1-1/x2)=(x1-x2)[1-(1/x1x2)]>0
即f(x)为减函数，

Answer 3

任取x1,x2∈(0,1）且x1<x2
有f(x1)-f(x2)=（x1+1/x1）-（x2+1/x2）
=[1-1/（x1*x2）]*（x1-x2）
因x1x2<1,1/x1x2>1故[1-1/x1x2]<0
又x1-x2<0
所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)=x+1/x在x∈(0,1）上是减函数