Question

函数f(x)的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意的x1,x2∈D，有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)

(1)求f(1)的值
(2)判断函数的奇偶性并证明
(3)若x>1时，f(x)>0,求证f(x)在区间(0,+∞)上是增函数
(4)在(3)的条件下，若f(4)=1,求不等式f(3x+1)≤2的解集
（主要是第三问……）

Answer 1

1.x1=x2=1
f(x1*x2)=f(1)=f(1)+f(1)=2f(1) f(1)=0
2.设x1=x2=-1
f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0 f(-1)=0
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
所以函数是偶函数。
3.设 k>1 x>0 kx>x
f(kx)-f(x)=f(k)+f(x)-f(x)=f(k)>0 f(kx)>f(x)
所以函数在x>0上是增函数
4.f(4)=1
f(4)+f(4)=f(16)=2 f(16)=f(-16)
当3x+1>0时 f(3x+1)<=f(16)
3x+1<=16 -1/3<x<=5
当3x+1<0时 f(3x+1)<f(-16)
3x+1<-16 x<-17/3