Question

已知函数f（x）=x+1/x 证明f（x）在( 0，1) 上是减函数

Answer 1

令0<a<b<1(一般设成x1、x2，这里为了方便，写成a、b)
f(a)-f(b)=a+1/a-b-1/b=(a-b)+(1/a-1/b)=ab(a-b)/ab+(b-a)/ab=(ab-1)(a-b)/ab
∵0<a<b<1
∴ab-1<0，a-b<0，ab>0
∴f(a)-f(b)>0
∴f(x)在(0,1)上是减函数

Answer 2

设0<x1<x2<1，则x2-x1>0，0<x1x2<1，1/(x1x2)>1.
有f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-x1-1/x1=(x2-x1)[1-1/(x1x2)]<0，
即f(x2)<f(x1).
于是，在( 0，1) 上f(x)是减函数.

Answer 3

如果学过导数：因f(x)可导 故f '(x)=1-1/x^2,在(0,1)内恒小于0
则得证
如果没学，根据定义：取0<a<b<1,f(a)-f(b)=1/a-1/b=(b-a)/(ab)
因a<b 则f(a)-f(b)<0 故得证

Answer 4

求导，然后说导数在（0，1）上为负数，则函数为减函数