Question

直线的对称式怎么求？

Answer 1

举一个实例。把｛2x+3y-4z+2=0 ；x+2y+3z-1=0 化为对称式 。

方法一：平面 2x+3y-4z+2=0 的法向量为 n1 =（2，3，-4），

平面 x+2y+3z-1=0 的法向量为 n2 =（1，2，3），

因此直线的方向向量为 v = n1×n2 =（17，-10，1）（向量叉乘会吧？）

取 x = 10，y = -6，z = 1 ，知直线过点 P（10，-6，1），

所以直线的对称式方程为 (x-10)/17 = (y+6)/(-10) = (z-1)/1 。

方法二：把 z 当已知数，可解得 x = 17z-7 ，y = 4-10z ，

由此得 (x+7)/17 = (y-4)/(-10) = z ，把最后的 z 改写成 (z-0)/1 ，就得结果。

方法三：取 z 的两个值如 z1 = 1 ，z2 = 2，

代入原方程可知直线过 A（10，-6，1），B（27，-16，2），

所以直线的方向向量为 AB =（27-10，-16+6，2-1）=（17，-10，1），

所以直线的方程为 (x-27)/17 = (y+16)/(-10) = (z-2)/1 。

扩展资料：

直线方程表达式：

1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】

 ， 

A1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行

A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合

横截距a=-C/A

纵截距b=-C/B

2：点斜式:y-y0=k(x-x0) 【适用于不垂直于x轴的直线】

表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线

3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】

表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线

4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】

表示斜率为k且y轴截距为b的直线

5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】

表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线　

两点式

(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) (x1≠x2，y1≠y2)

6：交点式:f1(x,y) *m+f2(x,y)=0 【适用于任何直线】

表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线

7：点平式:f(x,y) -f(x0,y0)=0【适用于任何直线】

表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线

8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】

过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度

9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v (u≠0,v≠0)【适用于任何直线】

表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v ）的直线

10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】

表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。