Question

三阶无穷小比二阶无穷小是多少？

Answer 1

设三阶无穷小为$a_n$，二阶无穷小为$b_n$，则$a_n = b_n \cdot c_n$，其中$c_n$是比$b_n$高阶的无穷小。因为$c_n$是比$b_n$高阶的无穷小，所以当$n$趋向于无穷大时，$c_n$趋向于0，因此我们可以将其忽略不计。
因此，我们可以将$a_n$和$b_n$在$n$趋向于无穷大时展开为其前几项的和，即：
$a_n = b_n + c_n$
$b_n = d_n + e_n$
其中$d_n$是比$c_n$高阶的无穷小，$e_n$是比$d_n$高阶的无穷小。因为$c_n$和$e_n$都是比$b_n$高阶的无穷小，所以当$n$趋向于无穷大时，它们都趋向于0，因此我们也可以将它们忽略不计。
那么，将$a_n$和$b_n$带入$a_n = b_n \cdot c_n$中，得到：
$b_n + c_n = (d_n + e_n) \cdot c_n$
移项得：
$\dfrac{c_n}{d_n} = \dfrac{b_n}{e_n + c_n}$
由于$c_n$是比$b_n$高阶的无穷小，$e_n$是比$d_n$高阶的无穷小，因此当$n$趋向于无穷大时，$c_n$和$e_n$都趋向于0，所以可以将它们忽略不计。
因此，$\dfrac{c_n}{d_n}$可以近似看做是一个无穷小量除以一个更高阶的无穷小量，所以它本身也是一个更高阶的无穷小量。因此，$\dfrac{c_n}{d_n}$趋向于0，所以三阶无穷小比二阶无穷小趋向于0。

Answer 2

设三阶无穷小为 $a_3(x)$，二阶无穷小为 $a_2(x)$，则有：

$$\lim_{x\to 0}\frac{a_3(x)}{a_2(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{k_3x^3}{k_2x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{k_3}{k_2}x = 0$$

因此，三阶无穷小比二阶无穷小小一个高阶无穷小，即 $a_3(x)=o(a_2(x))$。