Question

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=0又存在∈(a，b)使f(c)＞0试证，在(a，b)内存在ξ，使f (ξ)＜0。

Answer 1

【答案】：(反证)若对任意的x∈(a，b)均有f"(x)≥0成立，则根据题，曲线 y=f(x)在[a，b]向上凹，所以曲线
y=f(x)，x∈(a，b)
应位于连续接点A(a,f(a))，B(b，f(b))的直线段l的下方，而l即是x轴上的一段，故
f(x)≤0 x∈(a，b)．
这与假设矛盾．所以在[a，b]内至少存在一点ξ，使f"(ξ)＜0
证2 根据拉格朗日中值定理，存在ξ₁∈(a，c)及ξ₂∈(c，b)使
在区间[ξ₁，ξ₂]上对函数f'(x)引用拉格朗日定理，则至少存在一点使得
f"(ξ)＜0
证3
令h(x)=f(x)-g(x)，
则h(a)=h(c)=h(b)=0根据罗尔中值定理，存在ξ₁∈(a，c)，ξ₂∈(c，b)使
h'(ξ₁)=0=h'(ξ₂)
在区间[ξ₁，ξ₂]上考虑函数h'(x)．引用罗尔中值定理，存在ξ∈(₁，ξ₂)
使h"(ξ)=0
故得证。