Question

巧用互换解反函数:正函数与反函数互换

Answer 1

　　在讲解反函数概念时，要讲深、讲透其中隐含的三个“互换”。其一，互为反函数的对应关系是互换的，即原函数中的对应关系是，而反函数中的对应关系是。其二，为了符合书写函数表达式的习惯，应对调函数式中的字母，把它改写为的形式，即与的互换。其三，互为反函数的定义域和值域是互换的。如果能巧妙地用好这三个互换，会使反函数有关问题准确、简便地得解。下面举例说明。
　　一、 求反函数，要三个“互换”程序化
　　例1函数的反函数是____。
　　解：先求原函数的值域即反函数的定义域。
　　，，，，
　　再从原函数解析式中反解出。
　　由得，，
　　然后将互换，得，
　　故。
　　二、 巧用对应关系的互换
　　例2已知函数，那么它的反函数为____________。
　　A.B.
　　C.D.
　　解：在原函数中令，可得，因此反函数中令，应有。而满足这种对应关系的函数只有B，故正确答案为B。
　　例3设，则________。
　　解：欲求反函数中自变量对应的函数值，即为求原函数中使的自变量。因此将代入中解出即可。
　　由得，∴1。
　　三、 巧用定义域和值域的互换
　　例4函数的反函数的定义域是____________。
　　解：只需求出的值域即可。
　　
　　，，
　　因此，
　　∴函数的反函数的定义域是。
　　例5 设，函数，则使成立的的取值范围是（）
　　 A．B．
　　 C． D．
　　解：题中求反函数中值域对应的定义域，即为求原函数中定义域是对应的值域。又不难看出，原函数（）是上的单调递增函数，因此在上的值域是，即。故正确答案为A。
　　四、巧用与的互换
　　例6 已知函数的反函数为,若的图象过点Q,则=___________。
　　解：由于互为反函数中的与是互换的，所以它们的图象关于直线对称。由的图象过点Q可知，的图象必过点，则有，解得。
　　例7 若点既在函数的图象上，又在其反函数的图象上，试确定的解析式。
　　解：由题意知解得
　　∴。
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