Question

2.已知函数 (2x+3)^6(x-1/x) , f'(x) 为其导函数,求 f'(x) 的常数项

Answer 1

我们需要求导函数f'(x)的常数项。首先计算f'(x)，然后找到其中的常数项。

已知函数 f(x) = (2x + 3)^6(x - 1/x)。我们可以使用乘积法则对其求导数。

f'(x) = (2x + 3)^6的导数 * (x - 1/x) + (2x + 3)^6 * (x - 1/x)的导数

首先，求(2x + 3)^6的导数：
令u = 2x + 3，那么u' = 2。
使用链式法则，(2x + 3)^6的导数 = 6(2x + 3)^5 * 2 = 12(2x + 3)^5

接下来，求(x - 1/x)的导数：
令v = x - 1/x，那么v' = 1 + 1/x^2。

现在我们可以计算f'(x)：

f'(x) = [12(2x + 3)^5] * (x - 1/x) + (2x + 3)^6 * [1 + 1/x^2]

我们需要找到f'(x)中的常数项。观察上式，我们可以发现：

• [12(2x + 3)^5] * (-1/x) 这一项中，当x=1时，会产生一个常数项。此时，常数项为12(21+3)^5(-1) = -12(5)^5。

• (2x + 3)^6 * (1/x^2) 这一项中，当x=1时，会产生一个常数项。此时，常数项为(2*1+3)^6 * 1 = 5^6。

将这两个常数项相加，得到f'(x)的常数项：

常数项 = -12(5)^5 + 5^6 = 5^5(-12 + 5) = 5^5(-7) = -7(5^5)