Question

设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)，f(0)=0证明：在(-∞，+∞)内f(x)恒等于零

Answer 1

【答案】：由于f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且
f(x+y)=f(x)+f(y)令x=y=0，可得
f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)由此可得知
f(0)=0
对任意给定的x，考察
f(x+△x)=f(x)+f(△x)，
f(x+△x)-f(x)=f(△x)从而
此f(x)=k，又f(0)=0，可知
f(x)=0可以证明f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f'(x)=0