Question

高分悬赏微积分问题

f（-x^2+2rx）^-2dx(f是积分符号，r是常数，求解此式的不定积分)

Answer 1

∫(-x²+2rx)^(-2)dx
=∫1/(-x²+2rx)²dx
=∫1/[x(2r-x)]²dx
=(1/2r)²∫{(1/x)+[1/(2r-x)]}²dx
=(1/2r)²∫(1/x²)+[1/(2r-x)²]+[2/x(2r-x)]dx
=(1/2r)²{∫(1/x²)dx+∫[1/(2r-x)²]dx+∫[2/x(2r-x)]dx}
=(1/2r)²{-(1/x)-∫[1/(2r-x)²]d(2r-x)+(1/r)∫[(1/x)+1/(2r-x)]dx}
=(1/2r)²{-(1/x)+[1/(2r-x)]+(1/r)[∫(1/x)dx+∫1/(2r-x)dx]}
=(1/2r)²{-(1/x)+[1/(2r-x)]+(1/r)(ln|x|-ln|2r-x|)}+C
=(x-r)/[2r²x(2r-x)]+(1/4r^3)(ln|x|-ln|2r-x|)}+C
C为任意常数

Answer 2

先展开成再积分

Answer 3

我是以上两位的老师，他们的答案我看过了，都对。