Question

数学不定积分，微积分，换元法？

哪位数学比较厉害的可以用换元法求解一下嘛🥹
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Answer 1

😳问题 :  ∫ (2+3tanx)^2/ (cosx)^2 dx

👉不定积分

• 在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

• 不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分

👉不定积分的例子

1. 『例子一』 ∫ dx = x+C

2. 『例子二』 ∫ cosx dx = sinx+C

3. 『例子三』 ∫ x dx = (1/2)x^2+C

👉回答

∫ (2+3tanx)^2/ (cosx)^2 dx

• 利用 (secx)^2 =1/ (cosx)^2 

=∫ (2+3tanx)^2. (secx)^2 dx

• dtanx = (secx)^2 dx

=∫ (2+3tanx)^2.  dtanx

• d(2+3tanx) = (1/3)dtanx
  

=(1/3)∫ (2+3tanx)^2.  d(2+3tanx)

=(1/9)(2+3tanx)^3 +C

• 得出
  

∫ (2+3tanx)^2/ (cosx)^2 dx =(1/9)(2+3tanx)^3 +C

😄:  ∫ (2+3tanx)^2/ (cosx)^2 dx =(1/9)(2+3tanx)^3 +C

Answer 2

令 u=tanx，则 du=(secx)^2 dx = dx / (cosx)^2，
原式=∫(2+3u)^2du
=1/3 ∫(2+3u)^2 d(2+3u)
=1/9 (2+3u)^3+C
=1/9 (2+3tanx)^3+C

Answer 3

∫[(2+3tanx)^2/(cosx)^2]dx = ∫[(2+3tanx)^2(secx)^2]dx
= ∫(2+3tanx)^2d(tanx) = (1/3)∫(2+3tanx)^2d(2+3tanx)
= (1/9)∫(2+3tanx)^3 + C