Question

什么是集合的等价关系？

Answer 1

等价关系是设R是非空集合A上的二元关系，若R是自反的、对称的、传递的，则称R是A上的等价关系。给定非空集合A,若有集合S={S ,S ,…,S }，其中S A，S（i=1,2,…,m）且S S = (i j)同时有 S =A，称S是A的划分。
研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。
找出集合A的所有划分，每一个划分对应一个等价关系。
集合的划分就是对集合的元素分块，看到底是分成几块。

分成一块的有：
划分1：{{1,2,3,4}}，对应的等价关系就是全域关系E，也就是A×A。对应的等价关系是R={<1,1>，<1,2>，<1,3>，<1,4>，<2,1>，<2,2>，<2,3>，<2,4>，<3,1>，<3,2>，<3,3>，<3,4>，<4,1>，<4,2>，<4,3>，<4,4>}。
分成两块的有：
划分2：{{1,2},{3,4}}，对应的等价关系是R={<1,1>，<1,2>，<2,1>，<2,2>，<3,3>，<3,4>，<4,3>，<4,4>}。
划分3：{{1,3},{2,4}}，对应的等价关系是R={<1,1>，<1,3>，<2,2>，<2,4>，<3,1>，<3,3>，<4,2>，<4,4>}。
划分4：{{1,4},{2,3}}，对应的等价关系是R={<1,1>，<1,4>，<2,2>，<2,3>，<3,2>，<3,3>，<4,1>，<4,4>}。

分成三块的有：

划分5：{{1},{2,3,4}}，对应的等价关系是R={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<2,4>，<3,2>，<3,3>，<3,4>，<4,2>，<4,3>，<4,4>}。
划分6：{{2},{1,3,4}}，对应的等价关系是R={<1,1>，<1,3>，<1,4>，<2,2>，<3,1>，<3,3>，<3,4>，<4,1>，<4,3>，<4,4>}。
划分7：{{3},{1,2,4}}，对应的等价关系是R={<1,1>，<1,2>，<1,4>，<2,1>，<2,2>，<2,4>，<3,3>，<4,1>，<4,2>，<4,4>}。
划分8：{{4},{1,2,3}}，对应的等价关系是R={<1,1>，<1,2>，<1,3>，<2,1>，<2,2>，<2,3>，<3,1>，<3,2>，<3,3>，<4,4>}。

分成四块的有：
划分9：{{1},{2},{3},{4}}，对应的等价关系就是恒等关系I。I={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<4,4>}。
由划分求等价关系：<a,b>∈R当且仅当a,b在同一个划分块中。
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