Question

如何求空间一点处平面方程？

Answer 1

设平面内该点为(X1,Y1,Z1),法向量为(a，b，c)

设该平面另外一点为(X,Y,Z)
根据平面法向量垂直于平面得:
(X-X1)a+(Y-Y1)b+(Z-Z1)c=0
而由题干知法向量的坐标和平面内该点的坐标都知道。
可求得另外一点(X,Y,Z)X,Y,Z的关系,即为该平面方程。

拓展:

平面方程几种形式如下:

一、截距式

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1 

它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

二、点法式

n为平面的法向量，n=(A,B,C),M,M'为平面上任意两点，则有n·MM'=0, MM'=(x-x0,y-y0,z-z0)，

从而得平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 [1] 

三点求平面可以取向量积为法线

任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。

两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0

两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2

点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2) 求解过程:面内外两点连线在法向量上的映射Prj(小n)(带箭头P1P0)=数量积

三、一般式

Ax+By+Cz+D=0 ，其中A,B,C,D为已知常数，并且A,B,C不同时为零。

四、法线式

xcosα+ycosβ+zcosγ=p，其中cosα、cosβ、cosγ是平面法矢量的方向余弦，p为原点到平面的距离。

参考资料;

平面方程 百度百科

Answer 2

要求通过一个点和法向量来确定一个平面的方程，可以使用点法式方程。点法式方程的一般形式为：

Ax + By + Cz + D = 0

其中，A、B、C是平面的法向量的分量，(x, y, z)是平面上的任意一点，D是一个常数。

假设我们要求过点P(x0, y0, z0)的平面，且法向量为N(A, B, C)，那么点法式方程可以写成：

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

这个方程就是过点P的平面的方程。