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设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上
A.A当f'(x)≥0时,f(x)≥g(x)B.当f'(x)≥0时,f(x)≤g(x)C.当f"(x)≥0时,f(x)≥g(x)D.当f"(x)≥0时,f(x)≤g(x)...
A.A当f'(x)≥0时,f(x)≥g(x)
B.当f'(x)≥0时,f(x)≤g(x)
C.当f"(x)≥0时,f(x)≥g(x)
D.当f"(x)≥0时,f(x)≤g(x) 展开
B.当f'(x)≥0时,f(x)≤g(x)
C.当f"(x)≥0时,f(x)≥g(x)
D.当f"(x)≥0时,f(x)≤g(x) 展开
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【答案】:D
由于g(0)=f(0),g(1)=f(1),则直线y=f(0)(1-x)+f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f"(x)≥0时,曲线y=f(x)在区间[0,1]上是凹的,曲线y=f(x)应位于过两个端点(0,f(0))和(1,f(1))的弦y=f(0)(1-x)+f(1)x的下方,即f(x)≤g(x)故应选(D).
(方法二)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x,
则 F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1),F"(x)=f"(x).当f"(x)≥0时,F"(x)≥0,则曲线y=F(x)在区间[0,1]上是凹的.又F(0)=F(1)=0,从而,当x∈[0,1]时F(x)≤0,即f(x)≤g(x),故应选(D).
(方法三)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x,
则 F(x)=f(x)[(1-x)+x]-f(0)(1-x)-f(1)x
=(1-x)[f(x)-f(0)]-x[f(1)-f(x)]
=x(1-x)f'(ξ)-x(1-x)f'(η) (ξ∈(0,x),η∈(x,1))
=x(1-x)[f'(ξ)-f'(η)]
当f"(x)≥0时,f'(x)单调增,f'(ξ)≤f'(η),从而,当x∈[0,1]时F(x)≤0,即f(x)≤g(x),故应选(D).
由于g(0)=f(0),g(1)=f(1),则直线y=f(0)(1-x)+f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f"(x)≥0时,曲线y=f(x)在区间[0,1]上是凹的,曲线y=f(x)应位于过两个端点(0,f(0))和(1,f(1))的弦y=f(0)(1-x)+f(1)x的下方,即f(x)≤g(x)故应选(D).
(方法二)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x,
则 F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1),F"(x)=f"(x).当f"(x)≥0时,F"(x)≥0,则曲线y=F(x)在区间[0,1]上是凹的.又F(0)=F(1)=0,从而,当x∈[0,1]时F(x)≤0,即f(x)≤g(x),故应选(D).
(方法三)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x,
则 F(x)=f(x)[(1-x)+x]-f(0)(1-x)-f(1)x
=(1-x)[f(x)-f(0)]-x[f(1)-f(x)]
=x(1-x)f'(ξ)-x(1-x)f'(η) (ξ∈(0,x),η∈(x,1))
=x(1-x)[f'(ξ)-f'(η)]
当f"(x)≥0时,f'(x)单调增,f'(ξ)≤f'(η),从而,当x∈[0,1]时F(x)≤0,即f(x)≤g(x),故应选(D).
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